数学の問題です。わかりません。

問題
三つの独立なベクトル a1, a2 ,a3 を3辺とする平行六面体の体積をVとすれば、(a1 + a2), (a2 - a1), a3 を3辺とする平行六面体の体積V’はいくらか?

答え
V’ = 2V


この問題で答え2Vが導かれるまでの過程がわかりません。できればお詳しい方、詳しくその過程をどうか、ご教授お願致します。

.

A 回答 (2件)

a1,a2,a3を3辺とする平行六面体の体積は次の式で求められます。



V=a1・(a2×a3)

この性質を使ってV’を求めてみます。

V’=(a1+a2)・{(a2-a1)×a3}
=(a1+a2)・(a2×a3-a1×a3)
=a1・(a2×a3-a1×a3)+a2・(a2×a3-a1×a3)
=a1・(a2×a3)-a1・(a1×a3)+a2・(a2×a3)-a2・(a1×a3)
=a1・(a2×a3)-0+0-a2・(a1×a3)
=a1・(a2×a3)+a2・(a3×a1)
=2a1・(a2×a3)
=2V

よって、V’=2Vになる。


多分これで良いと思うのですが、なにしろ先ほど調べたばかりなので、もし間違っていたらすみません。

・自分が参考にしたサイト

↓平行六面体の体積
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/Triprod/

↓内積の性質
http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2007 …

↓外積の性質
http://gandalf.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2007 …
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図で考えましょう。



a1とa2を含む面は、平行四辺形になります。

(a1+a2)と(a2-a1)はどちらも、a1とa2でできる平行四辺形の対角線です。

2つの対角線を2つの辺とする平行四辺形の面積は、元の平行四辺形の面積の2倍になりますよね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2011/05/06 18:09

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