高校生の者です。

表面積が12π平方センチメートルである直円柱の密閉された缶を考えます。(缶の材料の厚さは考えません。)
缶の上下にある円の半径をx cm、缶の高さをh cmとするとき、缶の体積を最大にするxとhの値、そのときの体積を求めなさい。

という問題です。
どうかよろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

  xとhは長さなので、


x>0,h>0
  が必要です。
  また表面積が
12*pai(cm^2)
  であることから、xとhの関係式を表現すると、
2*pai*x^2+2*pai*x*h=12*pai
  となり、式を変形すると、
h=(6-x^2)/x
  となります。

  体積をVとおくと、
V=pai*x^2*h
=pai*x^2*(6-x^2)/x
=-pai*x^3+6*pai*x

dV/dx=-3*pai*x^2+6*pai
=-3*pai*(x^2-2)
=-3*pai*(x-√2)(x+√2)

  また、
V=-pai*x*(x-√6)(x+√6)
  です。

これより体積Vのグラフはx軸の-√6,0,√6を通り、-√2で極小値、√2で極大値を取るグラフとなります。

  x>0 でグラフを書くと、x=√2で最大値になることがわかります。
  x=√2をhとVの式に当てはめると、
h=2√2
V=4√2*pai
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この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。
とても助かりました。

お礼日時:2003/10/05 12:20

缶の体積をV、表面積をAとして式を立てます。


V=πx^2・h       ・・・(1)
A=2πx^2+2πxh=12π・・・(2)

(2)を解くと
h=(6-x^2)/x     ・・・(3)
となり、これを(1)に代入して
V=πx^2・(6-x^2)/x=π(6x-x^3)
これをxで微分すると
dV/dx=3π(2-x^2)
となります。

Vが極値(最大・最小値)となるのはdV/dx=0の時なので
dV/dx=3π(2-x^2)=0を解くと
x=±√2
x>0なのでx=√2で、この時Vが最大になります。
あとは(1)(3)にxを代入して体積と高さを求めます。
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この回答へのお礼

早い回答、ありがとうございました。
すごく参考になりました。

お礼日時:2003/10/05 12:19

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