高校生の者です。

表面積が12π平方センチメートルである直円柱の密閉された缶を考えます。(缶の材料の厚さは考えません。)
缶の上下にある円の半径をx cm、缶の高さをh cmとするとき、缶の体積を最大にするxとhの値、そのときの体積を求めなさい。

という問題です。
どうかよろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

  xとhは長さなので、


x>0,h>0
  が必要です。
  また表面積が
12*pai(cm^2)
  であることから、xとhの関係式を表現すると、
2*pai*x^2+2*pai*x*h=12*pai
  となり、式を変形すると、
h=(6-x^2)/x
  となります。

  体積をVとおくと、
V=pai*x^2*h
=pai*x^2*(6-x^2)/x
=-pai*x^3+6*pai*x

dV/dx=-3*pai*x^2+6*pai
=-3*pai*(x^2-2)
=-3*pai*(x-√2)(x+√2)

  また、
V=-pai*x*(x-√6)(x+√6)
  です。

これより体積Vのグラフはx軸の-√6,0,√6を通り、-√2で極小値、√2で極大値を取るグラフとなります。

  x>0 でグラフを書くと、x=√2で最大値になることがわかります。
  x=√2をhとVの式に当てはめると、
h=2√2
V=4√2*pai
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この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。
とても助かりました。

お礼日時:2003/10/05 12:20

缶の体積をV、表面積をAとして式を立てます。


V=πx^2・h       ・・・(1)
A=2πx^2+2πxh=12π・・・(2)

(2)を解くと
h=(6-x^2)/x     ・・・(3)
となり、これを(1)に代入して
V=πx^2・(6-x^2)/x=π(6x-x^3)
これをxで微分すると
dV/dx=3π(2-x^2)
となります。

Vが極値(最大・最小値)となるのはdV/dx=0の時なので
dV/dx=3π(2-x^2)=0を解くと
x=±√2
x>0なのでx=√2で、この時Vが最大になります。
あとは(1)(3)にxを代入して体積と高さを求めます。
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この回答へのお礼

早い回答、ありがとうございました。
すごく参考になりました。

お礼日時:2003/10/05 12:19

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Aベストアンサー

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結構気に入って使ってました。お出かけの時も持って行ってました。

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まず、5センチ幅くらいの細長ーい布の袋を作ります。
面倒ですが、1枚の布ではなくて何枚かの布をつないで作った方が
出来上がりが綺麗です。
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お年寄りとは、デイサービスに通う方々なのですが、介護保険で「自立」と判断されるくらいの特定高齢者です。
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よろしくどうぞ。

Aベストアンサー

 手作り楽器ですか。それはよいお考えですね。
 金額的にどの辺りを想定されているのかで、事情が変って来ますが・・・オカリナは、別にキットでなくても粘土をコネコネして十分作れます。(ここ何年か、手作りオカリナが何故か流行ってます。)

 作り方を言葉で説明するのは非常に難しいので、とてもよいHPを一つ御紹介致します。

http://homepage3.nifty.com/yagibox/ocarina/nofr_01.htm

・・・尚、

1)HPでは『中子』(中の空洞を作る為の、石などの型)を使っていますが、都合のよい中子が無い場合は、指でドーム状に整形したモノを2つ合わせても十分作れます。

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3)今日では、完全に乾くと石膏の様なモノになるなど色々な性質の粘土が出回っているので、使う粘土によっては焼き工程を省略出来るでしょう。画材屋でよく吟味してみてください。

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CADはAutoCAD LTを持ってるのですが、AutoCADで求めることも出来るのでしょうか?

もしかするとカテゴリ違いになってしまうかもしれませんが、どなたか教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

添付図のようにxyz座標軸をとると
直径1000の円筒の方程式は
y^2+(z-1000)^2=500^2
斜線部の円筒の方程式は
x^2+y^2=300^2
斜線部の立体の体積Vは
V=4∫[0,300]dy∫[0,√(90000-y^2)] {1000-√(250000-y^2)}dx
=4∫[0,300] {1000-√(250000-y^2)}√(90000-y^2]dy
=148058243.118…

また斜線部の立体の重心をG(0,0,g)とおけ、
g=(4/V)∫[0,300]dy∫[0,√(90000-y^2)](1/2){1000-√(250000-y^2)}^2 dx
=(2/V)∫[0,300] {√(90000-y^2)}{1000-√(250000-y^2)}^2 dy
=262.387…

Vとgの積分は、いずれもyの定積分ですが、厳密計算が難しいので、数値積分で求めました。

計算結果は保証の限りではないので、自身で計算して確認ください。


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