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大学で出された問題です
「質量mの質点がポテンシャルU(x)=cx/(x^2+a^2) (c.a:定数) のもとで
一次元運動をしている時、

1)安定な平衡点を求め、その近傍における微小運動の周期を求めよ。

2)質点が初速度Voで安定平衡点から運動するとき、(1)振動する条件、(2)-∞に行く条件、(3)+∞に行く条件、を求めよ」

という問題が出されたのですが、私の大学では解法を習う前に演習の授業がはいるので手も足も出ず困っています。
安定平衡点、ポテンシャル等用語はわかるのですが相互関係がわかりません。
そのあたりの解説と解法をよろしくおねがいします。

A 回答 (2件)

1)



力は,ポテンシャルの低い方を向くので,安定な平衡点ではポテンシャルが極小となります。

dU/dx = c(a^2-x^2)/(x^2+a^2)

(i) c>0のとき x = -|a|
(ii) c<0のとき x = |a|

が安定な平衡点。

a,cの符号に関らず,対称性により微小振動の周期は変わらないので,簡単のためa>0,c<0とします。

x = a + y とおいて,yについて2次までとると

U = c(a+y)/{ (a+y)^2 + a^2 }
 ≒ c/(2a) - c/(4a^3)×y^2

定数は無視して,U=ky^2/2と比較して,k = -c/(2a^3) (a>0,c<0)
したがって,微小振動の周期は,

T = 2π√(m/k) = 2π√|2ma^3/c|

となるかと思います。

2)

エネルギー保存によって判断します。極大方向への運動では,極大点をこえれば無限遠に至ります。ただし,a,cの符号に注意。グラフはa>0,c<0の場合です。なお,U(±∞)=0です。
「力学(調和振動子)の問題です」の回答画像2
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この回答へのお礼

グラフ付の丁寧な説明ありがとうございます。
これで理解がまた深められます。
助かりました。

お礼日時:2011/05/11 23:36

1) まずU(x)を微分して0と置くことで極小点を求める(極大は除外)。

これが安定平衡点。
次のこの安定平衡点のまわりでテーラー展開して2次まで取ると調和振動ポテンシャルと同じ形になるので、
イカ、調和振動と同様に取り扱えばよいでゲソ

2) ポテンシャルの全体の形を書き、いろいろな高さの水平線を書き入れる。
この水平線の高さは力学的エネルギーを表す。
力学的エネルギーはポテンシャルより必ず大きいか等しくないといけないので、
この条件にあうところだけを運動することができる。

振動するという事は、両側がポテンシャルの壁で遮られている場合。

-∞に行くということはマイナスの初速度を持っていてマイナス側に壁がない、
もしくは、プラスの初速度を持っていて、プラス側に壁がありマイナス側に壁がない場合。

+∞はその逆。
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この回答へのお礼

なるほど
限られた運動の位置の条件を考えればよいのですね
たすかります。

お礼日時:2011/05/11 23:38

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>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
      4x+5y-10=0
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      x=-5(y-2)/4・・・・(★)

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もうちょっと整理すると、
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となって、これは(0,2,1)を通り、方向ベクトルが(5,-4,-3)の
直線になることを示しています。


方程式が2つあるので、どれか一つの文字で表して、つなげてみるといいですね。
頑張ってください!!

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
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 Wikiの万有引力定数も使って出すと、概ね近い値が出ますよ。
  3.6*10^(-47) [N]

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%99%BD%E5%AD%90
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%BB%E5%AD%90
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%87%E6%9C%89%E5%BC%95%E5%8A%9B%E5%AE%9A%E6%95%B0

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こんばんは。

ちょっと待ってください。

「3次元空間にベクトルAが一本だけある」
と書かれていますが、
ベクトルというのは、向きと大きさ、言い換えれば、始点と終点の関係があるだけであって、
「空間にベクトルがある」
という言葉自体がおかしいです。

そして、
「ベクトルAの座標がわかっている時」
と書かれていますが、
ベクトルには座標というものは存在しません。
成分があるだけです。(上記で言った、向きと大きさ(始点と終点の関係)のことです。)


とはいえ、
成分が(a1、b1、c1)という3次元ベクトルがあるとしましょうか。
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>>>ベクトルAに直交するベクトルの座標を、どれか一つだけ計算にて求めることは出来るのでしょうか?

上の式を満たすようなベクトルを作ればよいだけです。
たとえば、b2とc2をゼロにしちゃえば、いとも簡単に1つ作れます。


以上、ご参考になりましたら。

こんばんは。

ちょっと待ってください。

「3次元空間にベクトルAが一本だけある」
と書かれていますが、
ベクトルというのは、向きと大きさ、言い換えれば、始点と終点の関係があるだけであって、
「空間にベクトルがある」
という言葉自体がおかしいです。

そして、
「ベクトルAの座標がわかっている時」
と書かれていますが、
ベクトルには座標というものは存在しません。
成分があるだけです。(上記で言った、向きと大きさ(始点と終点の関係)のことです。)


とはいえ、
成分が(...続きを読む


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