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0[k=1,n]k^x (xは0以上の整数) を計算して求められたnの多項式の係数に規則性を発見しました。以下に示すこの規則性が正しいかどうか、或いは既知の内容なのかを教えてください。

     n    n^2   n^3     n^4   n^5   n^6   n^7   n^8   n^9   n^10   n^11   n^12
x=0 ( 1 )
  1 ( 1/2 ) ( 1/2 )
  2 ( 1/6 ) ( 1/2 ) ( 1/3 )
  3 ( 0 ) ( 1/4 ) ( 1/2 ) ( 1/4 )
  4 (-1/30) ( 0 ) ( 1/3 ) ( 1/2 ) ( 1/5 )
  5 ( 0 ) (-1/12) ( 0 ) ( 5/12) ( 1/2 ) ( 1/6 )
  6 ( 1/42) ( 0 ) ( -1/6) ( 0 ) ( 1/2 ) ( 1/2 ) ( 1/7 )
  7 ( 0 ) ( 1/12) ( 0 ) (-7/24) ( 0 ) ( 7/12) ( 1/2 ) ( 1/8 )
  8 (-1/30) ( 0 ) ( 2/9 ) ( 0 ) ( -7/15) ( 0 ) ( 2/3 ) ( 1/2 ) ( 1/9 )
  9 ( 0 ) (-3/20) ( 0 ) ( 1/2 ) ( 0 ) (-7/10) ( 0 ) ( 3/4 ) ( 1/2 ) ( 1/10)
  10 ( 5/66) ( 0 ) ( -1/2) ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) ( -1 ) ( 0 ) ( 5/6 ) ( 1/2 ) ( 1/11)
  11 ( 0 ) ( 5/12) ( 0 ) (-11/8) ( 0 ) ( 11/6) ( 0 ) (-11/8) ( 0 ) (11/12) ( 1/2 ) ( 1/12)

かなり見にくいですがこの表を斜めに見下ろすと、一番長い列から順に

n^(x+1) の係数は 1/(x+1)
n^x・・・ 1/2
n^(x-1)・・・ x/12
n^(x-2)・・・ 0
n^(x-3)・・・ -(x)P(3)/6! ←(x)P(3)=x(x-1)(x-2) (すなわちxパーミテーション3のこと)
n^(x-4)・・・ 0
n^(x-5)・・・ (x)P(5)/(6×7!)
n^(x-6)・・・ 0
n^(x-7)・・・ -3×(x)P(7)/10!
n^(x-8)・・・ 0
n^(x-9)・・・ -5×(x)P(9)/(6×11!)
n^(x-10)・・・ 0

という風にかなり規則性があります。
(x-7)乗や(x-9)乗あたりはかなり怪しいですが・・・
手計算ですし、x=12ではまだ上の規則に従ったものの、x=13からは分子に素数が出てきてしまい、ダメでした。パソコンで計算できればいいのですが、そのような知識と技量もなく・・・

回答お待ちしています。

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A 回答 (1件)

>或いは既知の内容なのかを教えてください。



既知です.
ベルヌーイ多項式と呼ばれるもので記述されます.

自然数pに対して,ベルヌーイ多項式B_p(x)というのが定義されて
1^p+2^p+・・・+n^p = (B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(1))/(p+1)
という形になります.
#たぶんあってるとおもうけど,もしかすると添え字がずれてるかも(^-^;

ベルヌーイ多項式そのものの定義が厄介なのですが,
このことが和の複雑性を表しています.
B_{p}(x+1}-B_{p}(x)=px^{p-1}
という微分みたいな性質があって,この手の性質で
累乗和と絡んできます.
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この回答へのお礼

ベルヌーイ多項式ですか・・・
ベルヌーイ多項式は調べてるときに出てきたのですが、よく解りませんでした(泣)
ちょっと今からベルヌーイ多項式と向き合いたいと思います。

ありがとうございました。

お礼日時:2011/05/18 20:45

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