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連続型確率分布の問題なのですが、
以下の問題がどうしても解けません。
ぜひ、おしえてください。

f(x)= cx^2 ( 0≦x≦10 )
0 ( x<a または b<x)

上式で表される確率密度関数について
(1) cを求めよ。
(2) 平均、分散を求めよ。
(3) 累積分布F(x)を求めよ。
(4) F(5.0)を求めよ。
(5) 4以上5以下の確率を求めよ。



途中式まで記載してもらえると、独学で勉強できるので助かります。
よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

自分が求めた分布関数が正しいか疑問な場合、


まず分布関数のいくつかの性質が満たされてるか確認するといいでしょう。

基本的な性質として
(a) Fは実数全体から区間[0, 1]への(広義の)増加関数
(b) lim[x→-∞] F(x)=0, lim[x→∞] F(x)=1
があった。
これらを確認すれば十分、というわけではないですけど。

ほんとに積分するだけですよ↓

c=3/1000。

分布関数Fは
F(x)=∫(-∞, x] f(t) dt
で与えられる。

よってx≦0については
F(x) =∫(-∞, x] 0 dt = 0。

x (0<x≦10) については
F(x) =∫(-∞, 0] 0 dt +∫(0, x] ct^2 dt = x^3 /1000。

x>10については
F(x) =∫(-∞, 0] 0 dt +∫(0, 10] ct^2 dt +∫(10, x] 0 dt = 1。

一応確認してみると、(a) (b)は明らかに満たされてる。

まだ疑問がある場合は、あなた自身の解答と一緒に具体的に示してくれると助かります。
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この回答へのお礼

親身に回答頂き、助かりました。
何度も読み直したら、理解できました。

最終的に、自分の回答と合ってました。
同様の問題も、同じ様に解きます。
ありがとうございました。

お礼日時:2011/05/20 22:47

あ、肝心な点を忘れてた。


検算としては、fが連続であるような点xではF '(x)=f(x)、をもちろん確認すべきですね。
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aは0、bは10かな?



(1)f(x)=cx^2を積分。
それが1に等しい(確率密度関数だから)という方程式をcについて解く。
fの形から、区間0≦x≦10でcx^2を積分すればいいですよ。

平均や分散や分布関数は、密度関数が与えられればすぐに計算できるように公式化(あるいは定義)されてます。
それらの公式または定義を確認して計算することになります。
積分が出てくるけど、多項式関数の積分だけだし、そんなに高度なテクニークはいらない。

あと質問から逸れるけど、独学し始めなら、多くの問題にちゃんと解説・解答がついてるような教科書・問題集をやるのがいいんじゃないかなあ、と思います。
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この回答へのお礼

はい、xは0以上10以下です。

ありがとうございます。
その後、おっしゃる通りに解き、類似問題も解いて、
理解はしたつもりですが、本当に合っているか不安です。

特に累積分布のFの式あたりが不安です。
ただ積分すればいいだけの話なんですが…(^^;)

宿題ではないのですが、
配布された資料の設問で、解答が載っておらず、
どうしても解答と途中式が気になります。



ぜひ、教えて頂けないでしょうか?

お礼日時:2011/05/20 08:43

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