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x^3+y^3+z^3を
x+y+z
xy+yz+zx
xyz
で表すには
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
とわかるのですが

なぜこのように
因数分解出来るのですか?


このように因数分解する
『過程』を
面倒ですが、
教えていただきたいです。

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A 回答 (2件)

方程式の考え方を使うと早い。



x+y+z=m、xy+yz+zx=n、xyz=k とすると、xとyとzは t^3-mt^2+nt-k=0の3つの解。
t^3=mt^2-nt+k より、x^3=mx^2-nx+k であり、これは yとz についても成立する。
よって、x^3+y^3+z^3=m(x^2+y^2+z^2)-n(x+y+z)+3k となる。
つまり、x^3+y^3+z^3-3k=、x^3+y^3+z^3-3xyz=m(x^2+y^2+z^2)-n(x+y+z)=(x+y+z)*(x^2+y^2+z^2)-n(x+y+z)。
以下、自明。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
とても詳しくて理解することが出来ました!

お礼日時:2011/05/19 16:09

x^3+y^3の部分=(x+y)^3-3xy(x+y)より


[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3を適用]
x^3+y^3+z^3-3xyz
=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz
2項目と4項目をまとめる
=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)
ここで(x+y)^3+z^3=(x+y+z){(x+y)^2-(x+y)z+z^2}より
=(x+y+z){(x+y)^2-(x+y)z+z^2}-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)(x^2+2xy+y^2-zx-yz+z^2-3xy)
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
参考にさせていただきます。

お礼日時:2011/05/19 16:08

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