ここから質問投稿すると、最大4000ポイント当たる!!!! >>

2成分金属酸化物M-Oの系を考え、モル数をn1,n2、化学ポテンシャルをμ1,μ2として

ギブスデュエムの式
n1d(⊿μ1)+n2d(⊿μ2)=0

を書き換えて
⊿μ1=-(n2/n1)⊿μ2+∫⊿μ2 d(n2/n1)
(∫は0~n2/n1)

になるまでの過程を詳しく教えてください。
部分積分などを使うらしいのですが全く分かりません。
どうかよろしくお願いいたします。

A 回答 (1件)

ギブスデュエムの式より


d(Δμ1) = -(n2/n1) d(Δμ2)
∫d(Δμ1) = -∫(n2/n1) d(Δμ2)

n2/n1=x とおいて、Δμ1, Δμ2をxの関数
Δμ1 = f(x)
Δμ2 = g(x)
と考える。

右辺
 = -∫x dg
 = -∫x (dg/dx) dx   置換積分
 = -[x g] + ∫(dx/dx) g dx   部分積分
 = -(n2/n1)Δμ2 + ∫ Δμ2 d(n2/n1)

左辺=∫df=Δμ1
なぜならば x=0 のとき n2=0 なので f(0) = 0
    • good
    • 0
この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
助かりました。

お礼日時:2011/05/20 14:59

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qギブス-デュエムの式

298KにおけるAの部分モル体積の実験値は 
VA=6.218+5.146b-7.147b^2で与えられる。ギブス-デュエムの式を使って溶液中の水の部分モル体積の式を導け。298Kでの純水のモル体積は18.079cm^3mol^-1である。
dVA=(5.146-14.294b)db
[VB](VB*~VB)=-∫(0~b)nA/nB * (5.146-14.294b)db
までで行き詰りました。このあとはどうすれば良いのでしょうか?
よろしくお願いします。
因みに答えは18.079-0.0464b^2+0.0859b^3になるそうです。。

Aベストアンサー

> 答えがbがあるのでその式は使わないのでは?

nA/nB と b のあいだの関係式を導くのに

 b=(溶質 A のモル数)÷(溶媒 B のキログラム数) …… (式1)

を使います。

溶質 A のモル数=nA
溶媒 B のキログラム数=溶媒 B のグラム数÷1000
溶媒 B のグラム数=溶媒 B のモル数×溶媒 B の分子量

溶質 B のモル数=nB
溶媒 B の分子量=18.02

より

 b=nA÷(nB×18.02÷1000)

だから

 nA/nB=0.001802×b …… (式2)

となります。

> nA/nBは何を示しているのですか?

nA/nB は溶質 A のモル数と溶媒 B のモル数の比を表しているので、とくに何々濃度という名前がついているわけではありませんけれども、溶質 A の「濃度」を示しています。この「濃度」を b に変換するために(式1)の関係を使います。溶媒 B が水のときには、この変換式は(式2)になります。じっさいに式変形を追いかけてみるとわかるのですが、変換に必要なものは溶媒の分子量だけで、塩Aの式量はつかいませんから、Aの具体的な物質名が書いていなくても、nA/nB という「濃度」から b に変換することができます。

ここまでくればあとは、∫(0~b)nA/nB * (5.146-14.294b)dbに(式2)を代入して積分するだけで答えが出ます。

> 答えがbがあるのでその式は使わないのでは?

nA/nB と b のあいだの関係式を導くのに

 b=(溶質 A のモル数)÷(溶媒 B のキログラム数) …… (式1)

を使います。

溶質 A のモル数=nA
溶媒 B のキログラム数=溶媒 B のグラム数÷1000
溶媒 B のグラム数=溶媒 B のモル数×溶媒 B の分子量

溶質 B のモル数=nB
溶媒 B の分子量=18.02

より

 b=nA÷(nB×18.02÷1000)

だから

 nA/nB=0.001802×b …… (式2)

となります。

> nA/nBは何を示しているのですか?

nA/nB は溶...続きを読む

Q混合溶液の化学ポテンシャル

2成分溶液において一方の成分の化学ポテンシャルがμ,A=μ*,A+RTlnx,Aで表されるならば、他の成分の化学ポテンシャルはμ,B=μ*,B+RTlnx,Bで表されることを示せという問題がわかりません… 教えてください

Aベストアンサー

> 積分定数の所をμ*,Bとおけば作れたのですが
> どうも釈然としません…

一方の成分の化学ポテンシャルが

 μ,A=μ*,A+RTlnx,A ……(1)

で表される、といっても必ずしも全ての組成でこの式が成り立つとは限りません。式(1)が成り立つx,Aの範囲に依存して、μ*,Aやμ*,Bの持つ意味が変わります。


■全ての組成で、つまり 0≦x,A≦1 で、式(1)が成り立つ場合
 x,A=1のとき式(1)から μ,A=μ*,A となります。このとき左辺のμ,Aは純液体Aの化学ポテンシャルですから、x,Aに依存しない定数μ*,Aも純液体Aの化学ポテンシャルに等しくなります。
 x,B=1-x,Aですから、成分Bについても 0≦x,B≦1 で

 μ,B=μ*,B+RTlnx,B ……(2)

が成り立ちます。x,B=1のときを考えると、成分Aと同じ理屈で定数μ*,Bは純液体Bの化学ポテンシャルに等しくなります。
 式(1)が成り立つということは、成分Aについてラウールの法則が成り立つことを意味します[注1]。ギブス-デュエムの式から、「2成分溶液において一方の成分について全ての組成でラウールの法則が成り立つならば、他方の成分についても全ての組成でラウールの法則が成り立つ」ということがいえます。


■x,Aが1に近いときに限って、式(1)が成り立つ場合
 x,A=1のとき式(1)から μ,A=μ*,A となるので、先と同様に、μ*,Aは純液体Aの化学ポテンシャルです。
 一方、先とは違って、成分Bについては式(2)が成り立つのは x,B が0に近いときに限ります。今の場合、定数μ*,Bは純液体Bの化学ポテンシャルとは無関係の値になります。無関係であることを強調するために*という記号使わずに、μ゜,Bと書かれることも多いです。

 μ,B=μ゜,B+RTlnx,B ……(3)

 分子論的にはμ゜,Bは、「個々の溶質分子Bが十分な量の溶媒分子Aに取り囲まれていて、溶質分子B同士の相互作用が全く無視できる(仮想的な)溶液中の、成分Bの化学ポテンシャル」と解釈できます。μ゜,Bの値そのものは、溶質分子Bとそれを溶媒和している溶媒分子Aとの相互作用で決まる、と考えます。
 先と同様に、式(1)が成り立つということは、x,Aが1に近いとき成分Aについてラウールの法則が成り立つことを意味します。一方、式(3)が成り立つということは、x,Aが1に近いとき成分Bについてヘンリーの法則が成り立つことを意味します[注2]。ギブス-デュエムの式から、「2成分溶液において溶媒についてラウールの法則が成り立つならば、溶質についてはヘンリーの法則が成り立つ」ということがいえます。


■x,Aが0に近いときに限って、式(1)が成り立つ場合
 先とは逆に、成分Aが溶質に、成分Bが溶媒になります。ギブス-デュエムの式から、「2成分溶液において溶質についてヘンリーの法則が成り立つならば、溶媒についてはラウールの法則が成り立つ」ということがいえます。


> 希薄溶液のときは
> μ,B=μ*,B+RTlnx,B
> という式を当たり前のように使っていたのですが
>
> この式の正当性はどうすれば理解できるでしょうか…?

溶媒がラウールの法則に従う希薄溶液のときは、
μ,B=μ*,B+RTlnx,B
という式の正当性が、ギブス-デュエムの式から保障されます。


----------
注1,2:液相の化学ポテンシャルの圧力依存性を無視する近似の下で。
注2:溶質が揮発性分子の場合。溶質が不揮発性分子の場合には、式(3)は溶質の活量係数が1に等しいことを表している。

> 積分定数の所をμ*,Bとおけば作れたのですが
> どうも釈然としません…

一方の成分の化学ポテンシャルが

 μ,A=μ*,A+RTlnx,A ……(1)

で表される、といっても必ずしも全ての組成でこの式が成り立つとは限りません。式(1)が成り立つx,Aの範囲に依存して、μ*,Aやμ*,Bの持つ意味が変わります。


■全ての組成で、つまり 0≦x,A≦1 で、式(1)が成り立つ場合
 x,A=1のとき式(1)から μ,A=μ*,A となります。このとき左辺のμ,Aは純液体Aの化学ポテンシャルですから、x,Aに依存しない定数μ*,Aも純液体Aの化学ポテンシャ...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qクラウジウス-クラペイロンの式について

以前 QNo.125760 水の温度変化の質問の中でクラウジウス-クラペイロンの式について出ていましたが、いまいち理解できません。この式について、詳しく噛み砕いてお教え願えないでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

クラウジウス-クラペイロンの式は、蒸気圧曲線の傾きを求める公式です。

クラウジウス-クラペイロンの式を使うと、『蒸気圧曲線が温度の単調増加関数であること』を、簡単に証明することができます。蒸気圧曲線が温度の単調増加関数であるということは、「温度が高くなれば飽和蒸気圧が高くなり、温度が低くなれば飽和蒸気圧が低くなる」ということです。ですから、これと、「飽和蒸気圧が大気圧と等しくなる温度で液体は沸騰する」ということをあわせて考えると、

「大気圧が低ければ沸点は降下し,高ければ沸点は上昇する」

ということができます。つまり、クラウジウス-クラペイロンの式を使うと、大気圧が変わると沸点が変わることを説明できます。

以下は、クラウジウス-クラペイロンの式に関する説明です。

温度 T のときの蒸気圧曲線の傾き dP/dT は、温度 T のときの気化熱(蒸発熱)L、温度 T のときの飽和蒸気の体積 vg、温度 T のときの液体の体積 vl と、式(1)の関係があります。

dP    L
― = ――――     (1)
dT  T(vg-vl)

この式をクラウジウス-クラペイロンの式といいます。ここで、温度 T は摂氏温度ではなく、絶対温度です。また気化熱には、モル当たりの気化熱、体積 vg と vl にはモル当たりの体積を使います(気化熱に1グラム当たりの気化熱を使ってもいいです。このときは体積 vg と vl には1グラム当たりの体積を使います)。

気化熱 L は正の値、絶対温度 T も正の値、飽和蒸気の体積と液体の体積の差 vg-vlも正の値ですので、式(1)の右辺は正の値になります。よって、dP/dT > 0 となり、蒸気圧曲線が温度の単調増加関数であることが証明されました。

式(1)は、「熱力学的に厳密な式」と呼ばれる類の、とても正確な式なのですけど、このままでは少し使いづらいので、近似式が使われることが多いです。

近似1:飽和蒸気の体積 vg は液体の体積 vl よりずっと大きいので、vg-vl=vg と近似する。
近似2:蒸気を理想気体だと考えて、vg=RT/Pと近似する。ここで R は気体定数、Pは飽和蒸気圧。

この二つの近似を使うと、式(1)の近似式は式(2)になります。

dP   L P
― = ―――     (2)
dT  R T^2

この式もクラウジウス-クラペイロンの式といいます。式(1)にあった飽和蒸気の体積 vg と液体の体積 vl が式(2)では消えているので、式(2)の方が、式(1)よりも使いやすい形をしています。

もうひとつ近似を入れると、蒸気圧曲線の傾きだけではなく、『蒸気圧曲線そのもの』を求める公式を得ることができます。

近似3:気化熱 L は、温度に依らない。

この近似は、前の二つの近似と比べると、ちょっと荒い近似なのですけど、ともかくこの近似を使うと、蒸気圧曲線を求める公式が得られます。

ln(P/101325Pa)=(L/R) (1/Tb - 1/T)     (3)

この式もクラウジウス-クラペイロンの式といいます。左辺のlnは、自然対数(eを底とする対数)をとることを意味します。またTb は、圧力が1気圧=760mmHg=101325Pa のときの沸点です。

クラウジウス-クラペイロンの式と呼ばれている式がいくつもあって、ちょっと紛らわしいのですけど、まあどれも似たようなものですし、式の違いが重要なときには、たいてい数式が書いてありますから、混乱することは少ないと思います。QNo.125760 に数式が書いていないのは、高校生向けに書かれたものだからでしょう。

クラウジウス-クラペイロンの式は、蒸気圧曲線の傾きを求める公式です。

クラウジウス-クラペイロンの式を使うと、『蒸気圧曲線が温度の単調増加関数であること』を、簡単に証明することができます。蒸気圧曲線が温度の単調増加関数であるということは、「温度が高くなれば飽和蒸気圧が高くなり、温度が低くなれば飽和蒸気圧が低くなる」ということです。ですから、これと、「飽和蒸気圧が大気圧と等しくなる温度で液体は沸騰する」ということをあわせて考えると、

「大気圧が低ければ沸点は降下し,高けれ...続きを読む

Q断熱膨張におけるエントロピー変化について

断熱膨張で、
可逆的の場合、
ΔS(系・外界ともに)=0でΔStot=0(Δq=0より)
不可逆の場合、
ΔS(系)=nCv,mln(t1/t2)+nRln(V1/V2)
ΔS(外界)=0 ΔStot>0より自発的に起こる。
という理解をしているのですが、なぜ不可逆の場合、ΔS(系)はΔS=Δq/Tの式に反して正の値を取るのでしょうか?

Aベストアンサー

もし理想気体を考えておられるのでしたら不可逆的断熱膨張として質問者さんが計算しておられるものに問題があります。たとえば初期にV1だった理想気体を、連結した真空側の容器に広げて合計体積をV2(=V1+V1')にしたとします。エントロピーは状態量ですから初めと終わりが決まれば差は決まります。但し、変化量の計算は準静的ルートに沿って行います。断熱可逆膨張したとすれば(表記T1, T2, V1, V2が質問者さんと逆になりますが)
ΔS=∫(Cv/T)dT+∫(P/T)dV=Cv∫(1/T)dT+R∫(1/V)dV
=Cvln(T2/T1)+Rln(V2/V1)...(1)
となります。そして断熱可逆膨張については
T2={(V1/V2)^(γ-1)}T1...(2)
が成り立ちます。(この式の導出に準静的過程の要請が含まれています。)ここでγ=Cp/Cvであり、理想気体ならばCp-Cv=Rですからγ-1=R/Cvです。さて(1)を計算すると
ΔS=Cvln{(V1/V2)^(γ-1)}+Rln(V2/V1)
=Cv{(γ-1)ln(V1/V2)+(R/Cv)ln(V2/V1)}
=Cv{(γ-1)ln(V1/V2)+(γ-1)ln(V2/V1)}
=Rln{(V1/V2)(V2/V1)}
=0
となります。理想気体の断熱膨張ではエントロピーは増えません。等温過程ならばエントロピーが増大してその量はΔS=Rln(V2/V1)です。これは熱源からとった熱量をTで割ったものです。

>なぜ不可逆の場合、ΔS(系)はΔS=Δq/Tの式に反して正の値を取
>るのでしょうか?
もし、理想気体の膨張の話ではなくて、断熱過程でエントロピーの増大が起こったとしたら、それは熱の流入によるものではなく内部でのエントロピー生成です。
dS=dQ/T
は可逆過程のみでなりたちます。不可逆過程ならば
dS>dQ/T
となります。Clausiusのいう非補正熱をdQ'とかけば
dS=dQ/T+dQ'/T
となります。このdQ'/Tに対応するものです。

もし理想気体を考えておられるのでしたら不可逆的断熱膨張として質問者さんが計算しておられるものに問題があります。たとえば初期にV1だった理想気体を、連結した真空側の容器に広げて合計体積をV2(=V1+V1')にしたとします。エントロピーは状態量ですから初めと終わりが決まれば差は決まります。但し、変化量の計算は準静的ルートに沿って行います。断熱可逆膨張したとすれば(表記T1, T2, V1, V2が質問者さんと逆になりますが)
ΔS=∫(Cv/T)dT+∫(P/T)dV=Cv∫(1/T)dT+R∫(1/V)dV
=Cvln(T2/T1)+Rln(V2/V1)...(1)
...続きを読む

Q転化率

転化率の定義を教えてください。

Aベストアンサー

styrenさん、こんばんは。

参考URLに、大変面白い例が載っていました。

「新入生100人(原料)が入学し、1年後に、卒業試験がある(反応器)。
 合格者は、卒業(生成物)。
 不合格者(未反応物)は、在籍する(リサイクルにまわされる)」

このとき、
 卒業試験の合格率=(1回転化率)

のようです。
このときの、反応器に入れられる量=原料+リサイクル

なので、合格率は、

(生成物)÷(原料+リサイクル)×100=1回転化率

のようにかけると思います。
ご参考になればうれしいです。

Qエントロピー変化の計算

完全気体の圧力がPiからPfまで等温変化するときのエントロピー変化を計算せよ、という問題があります。しかしどのように計算すれば良いのか分かりません。この答えはΔS=nR*ln(Pi/Pf)だそうです。

以下は自分の考えです。
dS=dq/T と表されるのでΔS=∫(dq/T)=q/T (積分範囲はi→f)となり、熱を求めようと思いました。
等温変化なのでΔU(内部エネルギー変化)=q+w=0 (q:熱 w:仕事)が成り立ち、q=-wとなり、仕事を求めばいいと思うのですがどのようにwを求めていいのか分かりません。圧力一定で、体積が変化する場合なら求められるのですが・・・。

どなたかお分かりになる方、教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数だからです)
そして今dT=0より、結局pdV=-Vdp 状態方程式でVをpであらわし
よって、∫dS=∫pdV/T=∫-Vdp/T=∫-(nR/p)dp
=-nR[logp](p=pi~pf)
=nRlog(pi/pf)

余談ですけど、なぜ可逆過程なのにエントロピー変化があるのかというと、ひとつは、断熱系と混同しがちだからです。dS≧dQ/Tというのが、一番基本的なものなのです。断熱系dQ=0の場合のみdS≧0となりエントロピー増大則になります。また
等温変化の可逆過程では、dS=dQ/Tと、=になりましたけど、
これを高熱源や低熱源を含めた全体の系に適用すると、全てを含めた全体は断熱系になっているから、
dQ=0より、エントロピー変化はありません。
質問の場合なら、一見エントロピーはΔS=nR*ln(Pi/Pf)
と増加しているようですが(膨張を過程),それは気体のエントロピーのみ考えているからであり、
完全気体が高熱源から準静的に熱量Qをもらっている
はずで、逆に言うと高熱源は熱量Qを失っています。
だから、高熱源はエントロピーQ/Tだけ失っているから
完全気体と高熱源をあわせた系のエントロピー変化は
-Q/T+nR*ln(Pi/Pf)=0となって、結局全体で考えれば
エントロピー変化はありません。カルノーサイクル
の例も一応挙げとくと、
高熱源のエントロピー変化量:-Q/T1
低熱源〃:(Q-W)/T2
ですけど、カルノーサイクルの効率は1-(T2/T1)より
W=Q(1-T2/T1)∴低熱源:Q/T1となって、高熱源と低熱源
をあわせた系全体のエントロピーの変化はありません。

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Q部分モル体積とは?

初めまして、bababanbanと申します。
物理化学を勉強していると、部分モル量や部分モル体積といった言葉をよく目にします。

部分モル体積とは何なのでしょう?
どういうものなのかいまいちイメージができないため、質問させていただきました。

宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

2成分A,Bからなる溶液を考えます。この溶液に成分Aを1モル加えたときの溶液の体積変化をAの部分モル体積といいます。ただし溶液はAを1モル加えても濃度の変化がないくらい多量にあるとします。これを用いると溶液にAをdnAモル、BをdnBモル加えた際の体積変化は以下のようになります。VAはAの部分モル体積です。
dV=VAdnA+VBdnB


人気Q&Aランキング