加法定理 倍角の公式

ｓｉｎ３θをｓｉｎθを用いて表せという問題なのですが、ｓｉｎ（２θ＋θ）＝ｓｉｎ２θｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θｓｉｎθまでは分かるのですが、その後に２ｓｉｎθｃｏｓ^2θ＋（１－２ｓｉｎ^2θ）ｓｉｎθになる理由が分かりません。これはどういうことをしているのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2011/05/22 17:51

こんにちは。

sin２θcosθ　＋　cos２θsinθ
　＝　（sinθcosθ　＋　sinθcosθ）cosθ　＋　（cosθcosθ－sinθsinθ）sinθ
　＝　２sinθcos^2θ　＋　（cos^2θ－sin^2θ）sinθ

ここで、三平方の定理　sin^2θ　＋　cos^2θ　＝　１　を利用します。

No.2 回答者： Tofu-Yo 回答日時： 2011/05/22 19:02

２θ＋θのように分解して地道にやるやり方でも出るのですが、もし３θでなく４θや５θというように係数が大きくなるとちゃぶ台をひっくり返したくなります。

もし、複素数を知っているなら次のようにド・モアブルの定理を使ってやってみてください。

～～～ド・モアブルの定理～～～
虚数単位をiとして（つまりi^2=-1)、
(cosθ+i×sinθ)^n=cos nθ+i×sin nθ
～～～～～～～～～～～～～～

＜解法＞
i×sin3θは、cos3θ+i×sin3θの虚部である。
ド・モアブルの定理より、すなわち(cosθ+i×sinθ)^3の虚部であるから、この展開においてiが残る項、つまり偶数項のみを抜き出せばよい。（←iの偶数乗は実数になるので(A+iB)^3=A~3+3A^2×iB+3A×(iB)^2+(iB)^3の偶数項3A^2×iB+(iB)^3のみ残すということ）
したがって、
i×sin3θ
=3(cosθ)^2×(i×sinθ)+(i×sinθ)^3
=3(cos^2θ)×i×sinθ-i×(sin^3θ)
=i×{3(cos^2θ)×sinθ-(sin^3θ)}
=i×{3(1-sin^2θ)×sinθ-(sin^3θ)}
=i×(3sinθ-4sin^3θ)
∴sin3θ=3sinθ-4sin^3θ

複素数の実解析への応用です。