友人の課題で

「半径5cmの芯に厚さ0.01cmの紙が半径10cmまで巻かれている時巻かれている紙の長さを求めよ」

と言うのが出ました。
私は
巻き数をxとすると
0.01*x=(10-5)
x=500

半径5cmの筒なので円周は
10*3.14=31.4

だから 31.4*500=15700cm
と考えましたが間違いでしょうか?!
他に数列など使って求められるのでしょうか?
他の求め方がありましたら教えて下さいm(_ _)m

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円周の求め方」に関するQ&A: 円周率の求め方

A 回答 (7件)

最後にどちらが正しいのかを考えてみましょう。

#2モデルも#1モデルも(紙が十分に薄ければ)どちらもほぼ同じ結果を出すことを最初に述べました。でも、本当のところ本当に正しいのはどっちだ?という疑問を持たれるかもしれませんね。どちらだと思いますか?実は、どっちも正しくないのです。厚さのある紙をグルグル巻いて、どこを測っても同じ径のきれいな円筒を作れるわけありません。巻き始め・巻き終わりで段差ができるわけだし、そこに隙間もできるわけだし。どっちのモデルもそんなこと考慮してませんからね。

それでも紙が十分に薄ければ、段差もほとんどなくなるし隙間もなくなる。ほぼ径が一定の円筒と区別がつかなくなります。その時により正確なのはどっちだ?と喰い下がる人もいます。その時には、もうどちらのモデルもほぼ区別がつかない位正確なモデルになっているということです。

お友達に「どっちが正しいと思う?」と聞いてみたら如何ですか?お友達もここで質問するかもしれませんね。その時は、私はもう回答しませんが。

(完)
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この回答へのお礼

ご丁寧に細かく説明していただきありがとうございます。すっきりしました^^
どうもありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時:2003/10/11 08:07

次になぜ差が生じたかを調べましょう。

それは紙の長さの捉え方の違いが原因です。#2モデルも#1モデルも、ロールペーパーを厚さtの円筒を(バームクーヘンのように)重ねたものと考えています。内側からn番目の円筒に着目した場合、その円筒を作る紙の長さLnは、

Ln = π(Ri + (n+1)t);#2モデル
L'n = π((Ri + nt) + (Ri + (n+1)t))/2;#1モデル

と考えていることになります。#2モデルでは紙の外側の長さを、#1モデルでは紙の外側と内側の長さの平均を、それぞれ紙の長さとして考えているのです。#1は#2よりも紙の厚みの半分だけ径が小さい円筒の外径の円周を測っているということです。ここで、両モデルの違いを明確にすると、

L'n = π((Ri + nt) + (Ri + (n+1)t))/2 = π(Ri + (n+1)t) - πt = Ln - πt (= Ln - δ)

どの円筒でも、#1モデルは#2モデルよりも一定の値δ=2π(t/2)=πtだけ小さいのです。よって、紙の全長Lを計算すると、これがδが全ての円筒について蓄積するので、#2モデルと#1モデル差Δは、巻数をNとすると、

Δ = N・δ = N・πt = (Ro - Ri)/t・πt = π(Ro - Ri)

最初に出した式になりましたね。N = 1という極端な場合の紙の長さを両モデルで計算してみれば、#2モデルはロールペーパーの外径の円周2πRoを、#1モデルは内径と外径の平均のところの円周2π(Ro+Ri)/2を、それぞれ紙の長さとして返すことがよく分かると思います。

(続く)
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#1です。


#2と#1で結果が違うということですが、その通りです。#2さんはお分かりでしょうが、質問者が不安になるといけないので補足します。

まず、量モデルが算出する結果の差を調べてみましょう。#2と#1の差Δは、ロールペーパーの厚みが半分のところの円筒の円周です。ロールペーパーの内径(芯の外形)をRi、ロールペーパーの外径をRoとすると、

Δ = 2π・(Ro - Ri)/2 = π(Ro - Ri)

となります。(この問題の場合は、数値的にはRiの円周の半分と一致しますけど)。円筒の厚み Ro - Ri にしか依存せず、紙の厚みtがどんなに薄いモデルを考えても、この差は必ず残ります。しかし、紙の長さ全体に対する割合は t/Ro のオーダー(正確には t/(Ri+Ro))ですから、紙の厚さがロールペーパーの太さに比べて十分に小さければ無視できるほど小さくなります。今回の問題では、約240[m]の紙の長さのうちの15[cm]です(誤差にして0.07%)。ですから、どちらの結果を回答してもまず問題ありません。

(続く)
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#2&#3です。



ちなみに、#2のやり方(Σを使う)で計算すると、#1の方のやり方(体積を使う)で計算したものに対し、5×3.14(cm)だけ長いことになります。(これは芯の円周の半分の長さに相当します。)
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この回答へのお礼

やっぱり間違っていたんですね^^;計算してみます!細かく教えていただき、本当にありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時:2003/10/11 08:11

#2です。



#1の方のやり方の方がスマートかも知れませんね。というか、Σの計算が分からないと私のやり方ではできないですし…。

体積から求める場合、中心の芯の部分の体積を引くことをお忘れなく。
(半径10cmの円柱の体積)-(半径5cmの円柱の体積)
=紙全体の体積(=高さ0.01の直方体の体積)
ですね。
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間違ってます。


>だから 31.4*500=15700cm

この部分です。
普通のトイレットペーパーを思い浮かべてみてください。最も芯に近い部分と最も芯から離れている部分の円周(半径)は同じでしょうか?
違いますよね。

巻き数を求めたところまではOKです。
1周巻くごとに半径は0.01(cm)増えますよね?
なので、n周巻くと半径は0.01n(cm)増えるといえます。
このときの円周は
2×(5+0.01n)×3.14
となります。あとはこれをn=1から500まで足せばいいわけです。式にすると
Σ(k=1~500)6.28(5+0.01n)
となります。
(一応、ご質問の記載に併せて円周率=3.14としました)
あとの計算はご自分でやってみてくださいね。
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紙の幅を仮にL(cm)として、紙全体の体積を求めて下さい。

次に、その体積を紙の厚さと幅で割ると…長さが出てきます。
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