痔になりやすい生活習慣とは?

関数f(x)=1/X^2 を考える。(Xは実数で0ではない)

E=【1,2】の原像f(E)を求めよ

E=【1,4】の逆像f^-1(H)を求めよ

という二つの問題の解答と、答えの導か方について教えてください。

A 回答 (1件)

答え導き方といっても,1個1個の元について確かめるしかないような気がします.



f: R - {0} → R, x ↦ 1/x^2.

E = {1, 2}
に対して,
f(E) = {f(x) ∈ R | x ∈ E} = {1, 1/4}.

ただ,このf(E)は「Eの原像」とはよばず,
「写像fによるEの像」ってよぶんじゃないかと思います.

「H = {1, 4} に対して f^(-1) (H) を求めよ」ってことですよね.

1/x^2 = 1 となる実数は x = ±1,
1/x^2 = 4 となる実数は x = ±1/2
なので,

f^(-1) (H) = {x ∈ R - {0} | f(x) ∈ H} = {-1, -1/2, 1/2, 1}.

この「f^(-1) (H)」を「写像fに対する H の逆像」とか「写像fに対する H の原像」とかよぶんだと記憶してます.
要するに,原像と逆像は同じ意味だったはず.
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Q逆写像の求め方

以下の逆写像を求めなさい。
定義域と値域はどちらも実数です。
1.f(m)=4m+6
関数の逆写像を求める場合は、n=4m+6をmについて解けば良いのでしょうか?
n-6=4m, m=(n-6)/4。したがって、f^-1(m)=m/4-3/2?で宜しいでしょうか?
2.f(m)=m^3-2
上のやり方が正しければ同様にn=m^3-2, n+2=m^3。mの3乗ってこの先どうにか出来るんでしたっけ。。すみません、逆写像の質問ではなくて数学の基礎なのかも知れませんが、ご存知の方いらっしゃったら教えて下さい。
あと、逆写像は、y=xの線を隔てて対称的な線を描く、という認識は正しいでしょうか。

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>
1.f(m)=4m+6
関数の逆写像を求める場合は、n=4m+6をmについて解けば良いのでしょうか?
n-6=4m, m=(n-6)/4。したがって、f^-1(m)=m/4-3/2?で宜しいでしょうか?

それでいいです。
逆関数です。


>>>
2.f(m)=m^3-2
上のやり方が正しければ同様にn=m^3-2, n+2=m^3。mの3乗ってこの先どうにか出来るんでしたっけ。

3√(n+2) と書けばよいです。実数のみですからね。
(n+2)^(1/3) とも書けます。
です。


>>>
あと、逆写像は、y=xの線を隔てて対称的な線を描く、という認識は正しいでしょうか。

そうですね。
関数だったら、そうなります。

Q逆写像について

逆写像について質問です。
教科書で定義を見てもいまいち理解できません。
具体的な例を挙げます。

いま、A={a,b,c,d,e}とし、AからAへの写像fを
f={(a,c),(b,a),(c,d),(d,b),(e,e)}
とするとf^(-1)の値はどうなるか?

自分が考えたのは、単にそのまま逆にして
f^(-1)={(a,b),(b,d),(c,a),(d,c),(e,e)}
となるのではないかと思ったのですが、これで合っていますでしょうか?
逆写像の考え方等どなたか詳しい方は教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

定義は
写像f:X→Yの逆写像f(-1):Y→Xとは、y∈Yに対してf(x)=yとなるx∈X
を対応させる規則のことですね。

これはfが全単射でなくてはちゃんと定義できません。

たとえば
f:{a,b,c}→{a,b,c}

f(a)=a
f(b)=a
f(c)=b
などと定義すると、
f(-1)(a)はaとbの2つ
f(-1)(b)=c
f(-1)(c)はない
などとなって、f(-1)が定義できません。
これは、fが単射でも全射でもないからです。

また、
f:{a,b,c}→{a,b,c,d}

f(a)=a
f(b)=b
f(c)=c
と定義すると、
f(-1)(a)=a
f(-1)(b)=b
f(-1)(c)=c
f(-1)(d)はない
となって、f(-1)は定義できません。
これは、fが単射ではあるが、全射ではないからです。

しかし、単射ではあるが、全射ではない写像f:X→Yに関して、
f(-1)の定義域をf(X)に限定すれば逆写像がちゃんと定義できます。

また、f(-1)の逆写像はもとのfになります。

集合XとYの間に全単射f:X→Yが定義できるときにXとYは対等といって、
X~Yなどと書きます。XとYが有限集合なら、XとYの要素の個数が等しいときのみ可能です。

XとYが無限集合でも、たとえば、
X:自然数全体の集合、Y:偶数全体の集合
として、f(n)=2nと定義すると、fは全単射で、X~Yであり、
f(-1)(2n)=nで逆写像はちゃんと定義できます。
すなわち、XもYも無限の度合いが同じということです。

また、X:自然数全体の集合、Y:有理数全体の集合
としても全単射f:X→Yがちゃんと定義でき、X~Yです。
すなわち、有理数全体の集合は1、2、3、・・・と番号付けを
することができます。
(これは最初は不思議で、ちょっと難しいですが、数学者カントール
の考えた方法で、本当です。)

しかし、X:自然数全体の集合、Y:実数全体の集合とすると、
全単射f:X→Yは定義できないので、X~Yではありません。
すなわち、実数全体の集合は無限の度合いが自然数全体の集合より
高いということで、1、2、3、・・・と番号を付けてすべてを数
え上げることはできません。

逆写像を考えるときは、定義域、値域をしっかり念頭に置くことが
肝心です。

どのレベルの方かわからないので、いろいろ書いてしまいました。
(ほとんど集合の教科書に書いてあると思いますが。)

定義は
写像f:X→Yの逆写像f(-1):Y→Xとは、y∈Yに対してf(x)=yとなるx∈X
を対応させる規則のことですね。

これはfが全単射でなくてはちゃんと定義できません。

たとえば
f:{a,b,c}→{a,b,c}

f(a)=a
f(b)=a
f(c)=b
などと定義すると、
f(-1)(a)はaとbの2つ
f(-1)(b)=c
f(-1)(c)はない
などとなって、f(-1)が定義できません。
これは、fが単射でも全射でもないからです。

また、
f:{a,b,c}→{a,b,c,d}

f(a)=a
f(b)=b
f(c)=c
と定義すると、
f(-1)(a)=a
f(-1)(b)=b
f(-1)(c)=c
f(...続きを読む

Q一次変換Fによる 直線の像を求めてください

一次変換Fによる 直線の像を求めてください
(1 -1)  x + y + 1 = 0
(2  3)

A.x + 2y + 5

何をすればいいのかが分かりません
教えてください。お願いします

Aベストアンサー

一次変換は、直線を、直線または一点に移します。このことから、
x + y + 1 = 0 上の点を勝手に2個とって、それらの F による像を計算すれば、
x + y + 1 = 0 の F による像も解ります。

Q単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。

(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
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Q上界と上限と最大値の違い

上界と上限と最大値の違いはなんでしょうか
なんとなく違う気はするのですが、うまく説明することができません
これらはどのように使い分ければよいのでしょうか
明確な定義などはあるのでしょうか

Aベストアンサー

>明確な定義などはあるのでしょうか

うーーん、上界とか上限って言葉は高校数学までには出てこないですよね。
「その言葉を知っているが定義を知らない」という状況が思いつきません。
後学のため、「どうしてその言葉を知っているのか」のか教えていただければ幸いです。



定義は、次の通りです。

・xがAの上界 ⇔ すべてのAの要素aについて、a≦x
 つまり、xより大きいyについても a≦y となるのでyもAの上界になります。

・xがAの最大値 ⇔ すべてのすべてのAの要素aについて、a≦x かつ、 xはAに含まれる(xはAの元である)
 つまり、Aの元の中で一番大きいヤツです。当然1個しかありません。
 上界があっても考えている世界(全体集合)によって、最大値がないときがあります。実数の世界で、A={x;xは実数 かつ x<1} なんてとき、Aに最大値はありませんね。
 自然数や整数の世界では上界があるなら最大値があります。

・xがAの上限 ⇔ xはAの上界の最小値
 上界があっても考えている世界(全体集合)によって、上限がないときがあります。有理数の世界で、A={x;xは有理数 かつ x^2<2} なんてとき、Aに上限はありません。
 実数の世界では上界があるなら上限があります。

>明確な定義などはあるのでしょうか

うーーん、上界とか上限って言葉は高校数学までには出てこないですよね。
「その言葉を知っているが定義を知らない」という状況が思いつきません。
後学のため、「どうしてその言葉を知っているのか」のか教えていただければ幸いです。



定義は、次の通りです。

・xがAの上界 ⇔ すべてのAの要素aについて、a≦x
 つまり、xより大きいyについても a≦y となるのでyもAの上界になります。

・xがAの最大値 ⇔ すべてのすべてのAの要素aについて、a≦x ...続きを読む

Q塩化鉄について(エッチング)

金属のイオン化傾向から考えると、銅より鉄のほうがイオンとして溶液中に溶け出しやすいのにエッチングの反応では、なぜ銅が溶液中に溶け出すのか?教えてください!!

Aベストアンサー

反応式
2FeCl3 + Cu → 2FeCl2 + CuCl2

塩化鉄(III)がより安定な 塩化鉄(II)になるときに銅が溶け出すのかな?

Q溶液が疲労する

エッチングの回数を重ねることによって、次第にエッチングに要する時間が長くなりこれを『溶液が疲労する』といいますが、この理由を教えてください!!

Aベストアンサー

簡単な例で、
金属を酸に溶かす場合を考えましょう。
金属が溶けていくにつれて、酸の濃度が低下していきます。
酸の濃度が低下していくということは、金属を溶かす溶媒が少なくなっていくということです。
溶媒が少なくなれば、一定時間の間に金属が溶ける確率が減少していきます。
一定時間に溶ける確率が減少するということは、溶ける速さが遅くなることを意味します。


女子をナンパするのに、渋谷と田舎では、渋谷のほうが女子と出会える頻度が多いので、ナンパしやすいです。
また、
数多くの男子がナンパをしていくことにつれて、女子の濃度、つまり、残りの女子の人数が減少していき、ナンパの機会は少なくなっていったり、ナンパをするのにかかる時間が増加したりします。

Q最大元と極大元の定義の違いが分かりません

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
(X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。
「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。
2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
とは同値だと思います。
違いが分かりません。

一体,どのように違うのでしょうか?

Aベストアンサー

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
最大元と極大元は抽象的に考えても違いが分からなくて当然だと思います。ここは具体例で理解するのがよいと思います。

例はいろいろ考えられますが、たとえば、(x,y)∈R^2について、
(x1,y1)≦(x2,y2)をx1≦x2かつy1≦y2と定義します。
A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
のとき、Aの最大元は存在しませんが、極大元は3個あります。ちなみに最小限は(0,0)の1個ですね。

ところで、最大元が存在する場合は、全順序集合、半順序集合に関係なく、それは極大元でもあります。しかし、その逆は成り立ちません。
その意味で、「同値」ではありませんね。

Q上極限、下極限が理解できません

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。


X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。

こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

上極限

sin(n)で考えましょう。nは自然数です。
sin(n)は振動しているので極限はないけど、
「nが大きい時(というか初めからだけど)1を超えることはない」
「1付近の値を何回も(無限回)とる」
から1が上極限です。
ことばでいえば、
「ずっと先のほうでは、上極限の値より大きくならない」
(極限の意味でです。∀ε>0に対し上極限+εより大きくならないってことです)



この例では下極限はー1ですね。

(sin(n)-1)*n の場合だと、
上極限は0で、下極限は「なし」(-∞)となりますね。

Q平面の交線の方程式

2平面の交線の方程式はどうやって求めるのですか?

例で適当に問題を作ってみたんで教えてください
x-y+3z-1=0,x+2y-z-3=0

どなたか教えていただけませんか?

Aベストアンサー

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
      4x+5y-10=0
      4x=-5(y-2)
      x=-5(y-2)/4・・・・(★)

(☆)(★)より、yとzをxであらわせたので、つなげてみましょう。

x=-5(y-2)/4=-5(z-1)
もうちょっと整理すると、
x/5 =(y-2)/-4 =(z-1)/-3
となって、これは(0,2,1)を通り、方向ベクトルが(5,-4,-3)の
直線になることを示しています。


方程式が2つあるので、どれか一つの文字で表して、つなげてみるといいですね。
頑張ってください!!

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
   ...続きを読む


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