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行列の階数と、その転置行列の階数は同じなるという定理の証明なのですが、理解できなくて困っています。

行列の階数=一次独立な行ベクトルの総数
転置行列の階数=一次独立な列ベクトルの総数

というところまでは理解できるのですが、一次独立な行ベクトルの総数と、一次独立な列ベクトルの総数は、何故一致するんでしょうか?

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A 回答 (3件)

この手の「基礎部分」の証明は


教科書の流儀によって
何が前提で何が結論かが変わります.
したがって,
「教科書を読みなさい」
としかいえません.

まあ,あっさり証明するなら
まさに「標準形」にすればいいというだけ.

任意のr行s列行列Aに対して,正則なr次正方行列P,s次正方行列Qが存在し,
さらに自然数nが存在し,
Eを(1,1),...,(n,n)成分が1で,残りの成分が0であるような
r行s列行列とした場合
E=PAQ
とできる
#これが基本変形による階数の定義で,
#また,任意の正則行列は基本変形行列の積であることも既知とする
このとき,
E^t = P^t A^t Q^t
だから,
A^tとAの階数が等しい.

決して定義から明らかな結果ではないので
それなりの積み重ねが必要.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。よくわかりました。教科書には別な証明が載っていて、よくわからなかったのですが、こちらの証明は理解できました。しかし、何が既知の事実で、前提として使えるのかについては注意を払いたいと思います。

お礼日時:2011/05/30 00:00

そのどちらも、値が 0 でない小行列式の最大次数と同じだから。



片方証明すれば、もう半分は「同様にして」で済みます。挑戦して下さい。
行ベクトルを成分表示して、一次独立の定義をあてはめれば、
ほぼ自明であることが見えてくるはずです。
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標準形に変形すれば、一目瞭然です。

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この回答へのお礼

ありがとうございます。確かに標準形に変形すれば、すぐにわかることでした。

お礼日時:2011/05/30 00:06

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