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無限大割る無限大の答えは?

無限大は数ではないため、極限式などになるとは思うのですが、数学には疎いためとりあえず、この表現でご容赦下さい。
この答えは数学ではどの様になりますでしょうか?

こういった思考実験を考えてみたのですが、答えが見つかりません。
しかし、私がこの実験に参加した場合、実際には出会える、出会えないに収束すると思ったりもしています。何か矛盾を感じます。

先ず、地球のような限られた所ではなく、もっと別の場所を仮定。人間の寿命は永遠とする。
数学において何と言うのか分かりませんが、いわゆる思考実験をする場合に想定する理想状態とします。
■人間の数を無限大(実際にはどんどん新しい人が生まれている状態)+1人(私自身)。趣味の種類を無限種類(日々新しい趣味が生まれている状態)とする。私が色々な人と合コンして、私と寸分違わぬほどに全く同じ趣味を持った人と巡り会う確率を求めよ。

宜しくお願い致します。


-閑話-
こちらの答えを考えていてこの質問を思いつきました。
もし、お時間がありましたら一緒に考えていただけると幸いです。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6676980.html

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A 回答 (4件)

 連続無限まで持ち出さなくても行けるような気がしました。

自然数(整数)全体の個数(と言ってはいけないんですが・・・)の事を可算無限といいます。人の数も趣味の数も、1,2,3,・・・と数えられるので(可算なので)、これらは可算無限になります。自分は確率が不得手なので、次は間違ってるかも知れません。

 無限種類の趣味の中から、ある人があなたと同じ趣味を選ぶ確率:1/∞。
 無限人の中から、あなたがその人を選ぶ確率:1/∞。

 上記二つが同時に起こる確率:1/∞ × 1/∞ = 1/∞ =0

 ∞/∞にはなりませんでしたが、確率は0と思います。で「今現在なくても、将来あるのでは?」ですが、ビュッフォンの針に関連する問題を考えたとき、似た状況に遭遇しました。計算自体はあってましたが、その中に「線分から一点を選ぶ確率を計算する」という過程が含まれ、自分の結果をなかなか信じられませんでした。まさに、

  確率0だが、選ぶ事は明らかにできる.

からです。そこで思ったのが、有限個数を相手にしたときと、無限個を相手にしたときの確率0は、違うんだなという事です。

  有限個数の確率0:本当に、そのようなケースがない.
  無限個数の確率0:本当にそのようなケースがないか、まぐれ当たりが限りなく0に近い.

と思ったのですが、OKなんでしょうか?。

 ∞/∞を割り算と見た場合、数学では定義されていません。ただしケースに応じて計算できる例は、理屈の上ではごまんとあります。以下、limと書いたら、n→∞が省略されてると読んで下さい。

 lim (n+1)/n = 1    (1)
 lim (2n+100)/n = 2  (2)
 lim (n^2+100)/n = ∞  (3)
 lim n/2^n = 0      (4)

 (1)~(4)のn→∞のnは、正の整数で考えてます。つまりこの無限大は可算無限です。そうすると(1)と(2)は、整数の個数どうしを比較してるように見えます。本当は、こんな事言ったら駄目なんですが、何となく納得できませんか?。
 (3)は、数直線と座標平面上にある、整数点の数の比較のようなもので、面は線が無限に集まったものだからと考えると、何となく納得できますが、この納得は駄目なんです。[数直線の整数の数]=[座標平面上の整数格子点の数]が、証明できてしまうからです(^^);。(3)自体の計算は正しいのですが・・・。
 (4)は、整数の数と実数の数(可算無限と連続無限)の比較と考えて良い理由が、一応あります。正式には駄目なんですが、(4)をそのような意味とすると、連続無限は可算無限をカスにするくらい巨大な無限、という事になります。・・・じつはこれ、正しいんです(^^);。「限りないもの」として定義される無限ですが、「限りないものにも階層がある」という、とんでもない結果です(^^);。可算無限<連続無限を示す最も簡単な証明法が、対角線論法になります。

 以上より∞/∞には、色々問題があるようだとは、思って頂けませんか?。割り算∞/∞が定義されないのは、計算できないからではなく、計算できるケースがごまんとあり、しかも結果が一つでないからです。それが不定の意味ですし、通常の解釈が成り立たない場合すら出てきます。引き算も同様です。

 ちなみに∞+∞と∞×∞は定義されます。ただし、

  有限+可算無限=可算無限.
  可算無限+可算無限=可算無限.
  有限×可算無限=可算無限.
  可算無限×可算無限=可算無限.

  可算無限+連続無限=連続無限.
  連続無限+連続無限=連続無限.
  可算無限×連続無限=連続無限.
  連続無限×連続無限=連続無限.

といった具合に、有限の計算とは違います。でも答えは一つに決まります。

 これらの事(∞+∞と∞×∞)を、「限りないものを、いくら足しても掛けても、限りないに決まってるさ!」と、自分は時々言ってしまいます。これらは普通の解釈にあってますよね?(^^)。
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no.2です。



>>仮に今は存在しなくても、将来それが存在する確率はあるように思うのです
ダーツを投げる時、的の面積が半分になると当たる確率は半分になりますね。
寸分たがわず一致するということは、点に命中する、つまり
的の面積が0の場合を考えていることになります。
故に確率は0です。
これから無限回ダーツを投げるのだから
確率0でも
0×無限で0.1やら0.3になったりしないのか、と直感的に思えそうですが
なりません。
「回数」の無限よりも
「ダーツの板の面積÷点の面積(つまり0)」の無限のほうが大きいのです。
これは、解析学でいうところの高位の無限大(n→∞のときのn^2対nなど)どころではなく、
2^nとnの差に匹敵するのです。
分かりやすくするためダーツの板を1次元の、長さ1(座標は0から1まで)の線分としましょう。
1回目は0.238...
2回目は0.975...
3回目は0.781...
に命中したとします。
無限回投げれば全ての点を埋め尽くせるでしょうか?
無理です。
1回目の小数第1位は2
2回目の小数第2位は7
3回目の小数第3位は1
ですが、これらに例えば1を加えた数(9の場合は0)を連ねてできる小数、
つまり0.382...
は1回目と異なる(小数第一位が不一致)し、
2回目とも異なる(小数第二位が不一致)し、
以下どこまでいってもこの系列には登場しないのです。
一対一対応が作れないということは、0から1までの実数は自然数よりもずっと多いのです。
y=tan(x)[xは0からpi/2]のグラフを見れば
有限の連続体(0からpi/2までの数直線)から
無限の連続体(値域、つまり0以上の全ての実数)への一対一対応は可能と分かるでしょうが、
自然数のような離散体から連続体へは、どうしたってこのような対応付けはできないのです。


でも、確率が0なら起こり得ないかというと、そうではないのです。
起こりうる「同様に確からしい事象」の数が無限の場合、
ある事象が起きる確率は1/(全事象の数)
だから0になってしまうのです。
離散の場合だと、任意の自然数を選ぶ時、それが「10」である確率は0です。
でも「10」を選ぶことは可能です。
連続の場合も、物理世界に関連付けると無意味な議論になりますが
任意の実数を選ぶ時、それがroot(2)に一致する確率は0ですが
選ぶことは可能です。
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寸分たがわぬ、ということは連続体の中の一点に一致するということですね。


確率は0です。
人間は1人、2人、と数えられる無限ですが
0以上1以下の数は全ての自然数の数よりも多いのです。
対角線論法で検索すると説明が書かれています。

ただ、確率が0だからといって起こり得ないとは言えません。
例えば0から10までのランダムな値をとる変数があったとし、
これが1から2までに来る確率は、というと1/10ですが
ピッタリ3に一致する確率は、というと0です。
でも、「3に一致する」という事象は現にあり得ます

しかし、実際にはこの世界も連続体ではないかもしれません。
物質に原子と言う最小単位があるように、
時間や長さも離散的、つまりデジタルかも知れないと言われています。
そうなると、自然数との間に一対一対応が付けれてしまうので
自分と全く同じ個体が存在する確率は1となります
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この回答へのお礼

回答いただきありがとうございます!!


拙い説明ですが、そこから数学の理論が出てきて安心致しました。
連続体、離散的、対角線論法、初めて聞く言葉ばかりですが、とても分かり易く説明して頂きありがとうございます。何となくですが理解できたような気がします。


対角線論法について調べて見ました。Wikipediaでは正直全く理解できず個人のHP http://park20.wakwak.com/~ichikawa-clinic/explan …となっていますが、何となく分かった様な気がしました。
ただ、私の例では、常に新しく人が生まれている状態(上記URLで言えば、常に実数が生成されている状態)ですので必ずしもこれが当てはまるかどうかと思っています。
仮に今は存在しなくても、将来それが存在する確率はあるように思うのです。

流石に、数学の証明されていることに反論するのは気が引けるのですが、どうしてもこの辺りが納得できません。
また、実際に我々が存在するわけですので離散的にも思えますが、量子やマクロの世界を見ると連続体かもしれないなどよく分からなくなってしまいます。

また、
>0以上1以下の数は全ての自然数の数よりも多いのです。
そうなのでしょうか?無限を考える時、
自然数は、1,2,3・・・と無限に続きます。数は無限に存在すると思います。

最大の疑問ですが、
>ただ、確率が0だからといって起こり得ないとは言えません。
天気予報の0%が厳密には0ではないのは分かるのですが、
数学の0%は絶対に起こらないという意味ではないのでしょうか?
正直、この矛盾が理解できません。
これは、離散・連続が公理で決まってると言う意味でしょうか?

お礼日時:2011/06/02 20:21

数学的には不定.

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この回答へのお礼

回答いただきありがとうございます!
数学ではどの様に証明されていますでしょうか?
また、もし、ご存じでしたら分かり易く説明orお勧めのHP等ありましたら教えていただけると幸いです。
実は、ググっては見たのですが、1/0や0/1はあるのですが、無限/無限でこれという答えが見つからず探しております。

お礼日時:2011/06/02 17:04

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Q1÷0の答えを教えて下さい

子供に1÷0はいくつと聞かれゼロでしょと答えたら
姪っこに無限大だと言われました。
確かに小さい数で割れば答えは大きくなるのでゼロで
割れば無限に大きな数となるのかも知れないのですが
自分のあやふやな記憶ではゼロで割ったらゼロになると
教えられたような・・・。
検索してみたのですが難しい理論がずらずら並びいったい
正解はなんなのか良くわかりません。
「計算不能」なのか「無限大」なのか「ゼロ」なのか。
どなたか教えて下さい。

Aベストアンサー

「0で割る」ことについて書かれているサイトを紹介しますね。
そのサイトによると、
----------------------------------------
数学では「0 で割る計算は除外して考える」ことになってます.
つまり、
「0 で割る計算は定義しない」
のです.
----------------------------------------
とあります。

私は、高校で数学を学んだのですが、
分数で、分子が0を除く数(正確には実数)で、分母を限り無く0に近付けたとき、その分数は「無限大へ向う」(正確には「無限大に発散する」)と教わりました。
※分子とは、分数の上にのっかってる数
 分母とは、分数の下にある数 

これは、高校で習う「数学?の極限」という分野で出てくるお話です。

分数において、「分母を0にした場合の値は定義されてない」であり、また、「分数を限り無く0に近付けた時に、どんな値になるかというのは、考えることができる」ということなんです。

何かのお役に立てれば幸いです。

参考URL:http://www.uja.jp/contents/math/divbyzero.html

「0で割る」ことについて書かれているサイトを紹介しますね。
そのサイトによると、
----------------------------------------
数学では「0 で割る計算は除外して考える」ことになってます.
つまり、
「0 で割る計算は定義しない」
のです.
----------------------------------------
とあります。

私は、高校で数学を学んだのですが、
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Q無限小とマイナス無限大の違い

無限小とマイナス無限大の違いを教えて下さい。
宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

厳密な回答を求めているようではなさそうなので、#1さん同様感覚的に説明します。
"絶対値"はわかりますか?

絶対値でいうと

無限小はものすごく小さい
(0.00000000000001みたいな感じで。0に限りなく近い状態。0そのものだという人もいる。)

マイナス無限大はものすごく大きい
(-999999999999999999999999みたいな感じで。原点からめっちゃ離れている状態)

ものです。
ものすごく小さい/大きいって一体どういう状態?っていうことを説明するには数学的な議論が介入してきます。(数学得意な人にはその方がわかりやすかったりしますが・・・)

ちなみに#1さんの回答をよーく読めばわかるかと思いますが、#1さんお礼欄にかかれている質問者さんの質問は間違えています。
"無限小"は、x → +∞ のときの y=1/xの極限値、もしくは、x → -∞の時のy=1/xのイメージです。
y=1/xのグラフを書くとか、実際にxに10,1000,10000,1000000,…を代入していったときのyの値を計算してみればイメージしやすいかと思います。

厳密な回答を求めているようではなさそうなので、#1さん同様感覚的に説明します。
"絶対値"はわかりますか?

絶対値でいうと

無限小はものすごく小さい
(0.00000000000001みたいな感じで。0に限りなく近い状態。0そのものだという人もいる。)

マイナス無限大はものすごく大きい
(-999999999999999999999999みたいな感じで。原点からめっちゃ離れている状態)

ものです。
ものすごく小さい/大きいって一体どういう状態?っていうことを説明するには数学的な議論が介入してきます。(数学得意な人...続きを読む

Q1÷無限=0ということは数(大きさ)は幻想?

1÷無限=0ということは、

つまり、1の中に無限に入るのは0しかないので、1は無限の0の集まりで出来ていることになります(また、1以外のどんなに大きな数でも無限で割れば0になり例外はありません)、つまり、どんな数であっても無限で割れば、数を『構成する最小数』は0ということになります、つまり、どんな数も0が集まって(足し合わせて)出来ていることになります。

しかし、『0』はいくら足し合わせても掛け合わせても1にはなりません(大きさを持ちませんし、どんな数にもなりません)、

とすると、唯一0だけは存在しても、数(大きさ)なんてものは本当は存在しないものなのでしょうか?

Aベストアンサー

なんかもうどこから説明すればいいのか。

(1)>1の中に無限に入るのは0しかないので
ここですでにおかしい。
「1÷∞=0」は「1を∞で割ると0.00000…であり、割る数が∞であるからこの先0以外の数字が出現することはない。だから0と等しい」という意味です。「1の中に無限に入るのは0しかないので」は「1÷0=∞」という、数学上のやっちゃいけないことの一つをやっています。0除算は答えを一意にできないのでやってはいけないというのが数学の決まり事です。
なので
(2)>1は無限の0の集まりで出来ていることになります
ここに至ることはありません。
(3)>1以外のどんなに大きな数でも無限で割れば0になり例外はありません
これはあっています。1だろうがなんだろうが∞で割れば答えは0.0000000=0ということになります。
(4)>数を『構成する最小数』は0ということになります、つまり、どんな数も0が集まって(足し合わせて)出来ていることになります。
「数を『構成する最小数』」なんてものはない。(1)と(2)の誤解からくる思い違いです。
(5)>しかし、『0』はいくら足し合わせても掛け合わせても1にはなりません(大きさを持ちませんし、どんな数にもなりません)、
これは正しいです。0は無ですからそれ自身を何倍しようが0のまま。

(6)>とすると、唯一0だけは存在しても、数(大きさ)なんてものは本当は存在しないものなのでしょうか?
(1)と(2)の誤解が解ければ、この結論がそもそも導きえないということが分かると思います。
0は無ですから「大きさが存在しない」はまあある意味で合っていますが、(1)(2)(4)という誤解から実際と一致する結論を導いたからと言って、(1)(2)(4)が正しいことにはなりません。いわば状況証拠に合致するからといって真犯人ではない人物を逮捕するようなものです。

(1)が誤解であることが分かればあとは自明だと思いますが、いかがでしょうか。

なんかもうどこから説明すればいいのか。

(1)>1の中に無限に入るのは0しかないので
ここですでにおかしい。
「1÷∞=0」は「1を∞で割ると0.00000…であり、割る数が∞であるからこの先0以外の数字が出現することはない。だから0と等しい」という意味です。「1の中に無限に入るのは0しかないので」は「1÷0=∞」という、数学上のやっちゃいけないことの一つをやっています。0除算は答えを一意にできないのでやってはいけないというのが数学の決まり事です。
なので
(2)>1は無限の0の集まりで出来ていることになります...続きを読む

Qゼロに無限大を掛け算したらいくつになりますか?

ゼロに何を掛けてもゼロだと習いました。
無限大に何を掛けても無限大だと習いました。それでは、ゼロと無限大を掛け算したら何になるのでしょうか?

Aベストアンサー

ゼロです。
ゼロを掛けるということは、無いということですから、何を掛けてもゼロなんです。
掛け算は n×個数ということだと考えると分かりやすいのではないですか。

無限大に何を掛けても無限大というのは、表しきれないものが複数合っても表しきれないということです。
黄河砂という単位がありますね。黄河にある砂くらい多い事から来ている単位ですが、単位があるというだけで実際には使用することはこれからも無いでしょうね。

Qeのマイナス無限大乗

lim(t→∞) 1-e^(-t/T)
T:定数

というのがあって、極限値が1になることは手計算で分かったのですが、
数学的に1になる理由が分かりません。

e^(-∞)=0になる理由を数学的に教えてください。

Aベストアンサー

e^(-n) = (1/e)^n
であり、
0<|1/e|<1
だから

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q1/∞

よく、0.999・・・=1なのか。
という議論がされていますが、これと
1/∞=0とはまったく別物になるのでしょうか。

Aベストアンサー

0.999・・・は確定した(ユニークに定まる)数値です。小数点以下のどの位も9です。この数値のどこにも、曖昧なところがありません。そして、数学的にも0.999・・・=1となります。これは、極限値というよりも、コーシー列の完備性から導かれる性質です。

これに対して、1/∞はなんでしょうか?それは数値ではありませんね。∞が何なのかがよく分かりません(∞ってユニークでしょうか???)。しかし、lim[n→∞]1/nとするとlim[n→∞]1/n=0となります。この式には等号が用いられていますが、これは、ただ単に、n→∞⇒1/n→0という内容の略記表現にすぎません。ですから、この場合は、極限値という意味で0に「等しい」のです。極端な話、この場限りの定義で、lim[n→∞]1/n=1/∞とすることも可能です。そうすれば、1/∞=0となります。でもこれは、この場限りの定義ですから、数学的には何の意味もありません。

ここで念のために補足しますが、
lim[n→∞]1/n=0
これは、正しい式ですが、この両辺にnをかけて
n*lim[n→∞]1/n=n*0
より、
1=0
とすると、おかしなことになってしまいます。nとlimは交換可能ではありませんから、このような計算は許されません。

0.999・・・は確定した(ユニークに定まる)数値です。小数点以下のどの位も9です。この数値のどこにも、曖昧なところがありません。そして、数学的にも0.999・・・=1となります。これは、極限値というよりも、コーシー列の完備性から導かれる性質です。

これに対して、1/∞はなんでしょうか?それは数値ではありませんね。∞が何なのかがよく分かりません(∞ってユニークでしょうか???)。しかし、lim[n→∞]1/nとするとlim[n→∞]1/n=0となります。この式には等号が用いられていますが、これは、...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q無限大-無限大の計算の仕方

無限大-無限大の計算の仕方


Excel2010を使っています。


(coth x /x) - (1/ x^2)

という関数をExcelあるいはVBAを使ってプロットしたいのですが
x → 0で無限大-無限大の計算となるため

けた落ちしてしまって、うまく計算することができません。
正確には1/3 = 0.33333という値に収束するはずです。
Excelでは有効数字を15桁以上にすることができないそうで、これが問題となっています。

Matlabなどの他のプログラムソフトウェアを使わずに
この計算を行いたいのですがどうすれば良いでしょうか?

恐らく、計算の順番を工夫すれば計算できると思うのですが
どなたか教えて下さい。

Aベストアンサー

 cosh,sinh,cothの定義は、当然ご存知だと思うのですが、これらはe^xのよって定義されます。またコンピューターの中では、e^xは基本的に、マクローリン級数、

  e^x=1+x+1/2!・x^2++1/3!・x^3++1/4!・x^4++1/5!・x^5+・・・   (1)

で計算されます。

 またExcelに限らずコンピューターの中では、有効数字は15~16桁です。これはCPUのレジスターが、最大で20くらいの桁数しか持ってないからです。なので必要精度が15~16桁を越えれば、必然的に桁落ちが起きます。

 そういう目で(1)を見て下さい。例えば、x=10^(-6)なら、(1)の2項目のxまでなら何とかなりますが、3項目はx^2なので10^(-12)となり、それに1/2!=1/2までかかってるので、もう桁落ちし兼ねません。4項目以降は確実に0と、CPUに解釈されます。そうすると結果の精度は、6桁程度と覚悟すべきです。15桁のフル桁は実現されません。

 (1)のような無限級数のxは、0に近いほど(絶対値が小さいほど)数値的に正しい結果を与えそうですが、有限桁数しか持たない機械的なコンピューターには、こういう事情もあります


 確認のため、実際にExcel2010でやってみました。結果は、x=10^(-3)辺りが良い所です。それ以上に小さいxについては、#1さんの方法が、実用的と思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0

 cosh,sinh,cothの定義は、当然ご存知だと思うのですが、これらはe^xのよって定義されます。またコンピューターの中では、e^xは基本的に、マクローリン級数、

  e^x=1+x+1/2!・x^2++1/3!・x^3++1/4!・x^4++1/5!・x^5+・・・   (1)

で計算されます。

 またExcelに限らずコンピューターの中では、有効数字は15~16桁です。これはCPUのレジスターが、最大で20くらいの桁数しか持ってないからです。なので必要精度が15~16桁を越えれば、必然的に桁落ちが起きます。

 そういう目で(1)を見て下...続きを読む


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