外出自粛中でも楽しく過ごす!QAまとめ>>

m(d^2x/dt^2)=mg-kx
この微分方程式の一般解の求め方がわかりません。
詳しく教えていただけると嬉しいです。
おねがいします

A 回答 (4件)

実践的でない方法と言えるかどうか分かりませんが,以下のように解くこともできます.


微分方程式 m(d^2x/dt^2)=mg-kx を変形すると,

m(d^2x/dt^2)+kx-mg=0

ここで,

z=kx-mg

とおき,両辺を t で2回微分すると,

dz/dt=kdx/dt
d^2z/dt^2=kd^2x/dt^2

となります.これを変形すると,

(1/k)d^2z/dt^2=d^2x/dt^2

です.この式と z=kx-mg を

m(d^2x/dt^2)+kx-mg=0 に代入して変形すると,

(m/k)d^2z/dt^2+z=0

となります.この微分方程式を z について解きます.
まず,B を定数として,

z=exp(Bt)

とおいて,d^2z/dt^2 を計算すると,

dz/dt=Bexp(Bt)
d^2z/dt^2=B^2exp(Bt)

ですから,(m/k)d^2z/dt^2+z=0 に代入して B を求めると,

(m/k)B^2exp(Bt)+exp(Bt)=0
(m/k)B^2+1=0
B^2=-(k/m)
B=±i√(k/m)     i=√(-1)  (虚数単位)

となります.B が求まりましたので,z は,

z=exp((±i√(k/m))t)

と書けます.(m/k)d^2z/dt^2+z=0 は2階線形なので,
α,β を定数として,

z1=αexp(ti√(k/m))

z2=βexp(-ti√(k/m))

とおくと,z は,z=z1+z2 と書けるので,

z=αexp(ti√(k/m))+βexp(-ti√(k/m))

となります.ここで,z=kx-mg から,x を求めると,

kx=mg-[αexp(ti√(k/m))+βexp(-ti√(k/m))]

x=(mg/k)-(α/k)exp(ti√(k/m))-(β/k)exp(-ti√(k/m))]

が得られます.
-(α/k) および -(β/k) は積分定数なので,あらためて,

C=-(α/k) および D=-(β/k) とおくと,

x=(mg/k)+Cexp(ti√(k/m))+Dexp(-ti√(k/m))]

が得られます.故に,

x=(mg/k)+Csin(t√(k/m))+Dcos(t√(k/m))]

となります.この一般解は,#1さんと一致しています.
    • good
    • 1

#1のものです。


1行目間違っています。
mg-kx=ky
ではなく、
mg-kx=-ky
です。
    • good
    • 0

単振動の問題ですね。

m,g,kは定数とします。

m(d^2x/dt^2)=mg-kx

d^2x/dt^2+kx/m-g=0   (1)

定数係数の2階常微分方程式ですので解法はどんな参考書にも出ています。

ここではもう少し実践的な方法でやりましょう。

y=x-mg/k

とおくと(1)は

d^2y/dt^2+ky=0

D^2+k/m=0

k>0

解はD=±i√(k/m))

y=ae^(-it√(k/m))+be^(it√(k/m))
=ccos(t√(k/m))+dsin(t√(k/m))
x=ccos(t√(k/m))+dsin(t√(k/m))+mg/k

c,dは初期条件から決めます。

この回答への補足

解説ありがとうございます。しかし自分の理解力が低いのでわからない点がいくつかあります。
y=x-mg/kと置いた際にd^2x/dt^2がd^2y/dt^2なることがよくわかりません。
またD^2+k/m=0のk/mがどうやって出てきたのかがわかりません。

あとよろしかったらですが実践的でない方法も教えてもらえると嬉しいです。

補足日時:2011/06/07 06:33
    • good
    • 0

mg-kx=ky


となるようなyを用いて元の微分方程式を書き換えれると、yについての単振動を表す微分法定式が得られます。

これは重力が働いた状態でのバネに吊るされた物体の上下方向の振動を表す式です。
これは、重力で伸びる分オフセットされた同じ周期の単振動になります。
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qmd^2x/dt^2 = -k

md^2x/dt^2 = -kx + mg(m、g、kは実数の定数、mgk≠0)
与式の両辺に dx/dt を掛けてから、t で積分すると別の質問で聞いたのですが、左辺はどのような形になるのでしょうか?教えてください

Aベストアンサー

>そもそもなぜC = (a/2)e^{iδ}とするのでしょうか?

複素数を極形式であらわしているだけです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0#.E6.A5.B5.E5.BD.A2.E5.BC.8F

aではなくa/2とするのは,その方があとあと式がきれいになるからという理由だけです。a e^{iδ}とおいて後で定数を定義し直しても同じことです。どのみちaは任意定数なので,これで一般性は失われていません。

>(a/2)e^{iδ}の複素共役がC = (a/2)e^{-iδ}となるのは何故ですか?

オイラーの公式 e^{is} = cos(s) + i sin(s)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

を使ってCを書き直すと

C = (a/2)cosδ + i (a/2)sinδ

複素数a+ibにたいして複素共役はa-ibなのでCの複素共役C*は

C* = (a/2)cosδ - i (a/2)sinδ = (a/2)cos(-δ) + i (a/2)sin(-δ) = (a/2)e^{-iδ}

せっかくなので補足しておきますと,単振動ならエネルギー積分でも解けますが,この後に控えている粘性抵抗が入った減衰振動になるとエネルギー積分ではとけず(多分),どのみちANo.6と同様の解法を使うことになります。

>そもそもなぜC = (a/2)e^{iδ}とするのでしょうか?

複素数を極形式であらわしているだけです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0#.E6.A5.B5.E5.BD.A2.E5.BC.8F

aではなくa/2とするのは,その方があとあと式がきれいになるからという理由だけです。a e^{iδ}とおいて後で定数を定義し直しても同じことです。どのみちaは任意定数なので,これで一般性は失われていません。

>(a/2)e^{iδ}の複素共役がC = (a/2)e^{-iδ}となるのは何故ですか?

オイラーの公式 e^{is} = cos(s) + i sin(s...続きを読む


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング