|r|<1 ならば… 証明して下さい

|r|<1 ならば
a+ar+ar^2+…+ar^n-1+…＝a／1-r

の定理を証明したいです。
わかるかたよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： dame_dame_ 回答日時： 2011/06/10 12:03

a+ar+ar^2+…+ar^n-1=a(1-r^n)/(1-r)

となります

これは数学的帰納法で証明できます
n=1のとき
右辺=a(1-r)/(1-r)=a=左辺
n=kで成立を仮定するとn=k+1のとき
左辺=a(1-r^k)/(1-r)+ar^k
=a(1-r^k+r^k(1-r))/(1-r)
=a(1-r^(k+1))/(1-r)=右辺
よってn=k+1でも成立

|r|<1のときr^n→0(n→∞)だから
a+ar+ar^2+…+ar^n-1+…＝a／1-r

この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時：2011/06/14 14:38

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2011/06/10 18:20

Ｓn＝ａ＋ａｒ＋・・・＋ａｒ^(n-1)

とします。
Ｓn+1＝ａ＋ａｒ＋ａｒ^2＋・・・＋ａｒ^n
　　　＝Ｓn＋ａｒ^n
　　　＝ａ＋ｒ(ａ＋ａｒ＋・・・＋ａｒ^(n-1)
　　　＝ａ＋ｒＳn

これより
(１－ｒ)Ｓn＝ａ(１－ｒ^n)
Ｓn＝ａ(１－ｒ^n)/(１－ｒ)

この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時：2011/06/14 14:37