非対称行列の固有値と正定値性について

画像にあるように、非対称な行列について質問があります。

ある英語の本の問題で、画像に書いてある行列について以下のような問があります。
Is the matrix positive definite?
(これは正定値行列ですか？）

正定値行列がわからなかったので、調べたのですが、普通は対称行列に対して求めるもので、非対称な行列に対してそもそも取り扱われていないようでした。

また、正定値行列は固有値が全て正であるとのことだったのですが、この行列の固有値を求めたところ、複素数が出てきました。

これって正定値行列かどうか、判定することができるのでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： reiman 回答日時： 2011/06/11 12:22

No.3のエルミート行列の下りは間違い

nを2以上の整数とし
Aをn次エルミート行列とし
xをn次複素列ベクトルとする
(任意の行列XについてX^*をXの複素共役転置とする)
零ベクトルでない任意のxについて
S=x^*・A・x
が正であるときAを正値であるという
Aが正値⇄Aの実数部行列が正値
は成り立たない
従ってエルミート行列の正値性は対称行列の正値性の拡張として意味がある

従って修正版としては後半を除いて以下の通り

nを2以上の整数とし
Aをn次実行列とし
xをn次実列ベクトルとする
(任意の行列XについてX^TをXの転置とする)
零ベクトルでない任意のxについて
S=x^T・A・x
が正であるときAを正値であるという
S=S^Tなので
S=(S+S^T)/2=x^T・(A+A^T)・x/2
であるから
Aが正値⇄(A+A^T)/2が正値
M=(A+A^T)/2
は実対称行列であるから
行列が正値であるかどうかを判定するには
その行列を対称化した行列により判定すればよい
（行列Aの対称化行列とは(A+A^T)/2のことである）
従って実非対称正方行列の正値性は
実対称行列の正値性の拡張としてあまり役に立たない

今回の場合
√2・M=√2・(A+A^T)/2=
[1 0]
[0 1]
でありMの固有値は1/√2であり正であるから
与行列は正値である

この回答へのお礼

遅くなりましたが、回答ありがとうございました。
今回は二次でしたので、xをx1,x2として計算しSがかならず正になる式だとしてこの問題に対して解答しました。

お礼日時：2011/06/25 10:34

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/13 18:59

ああ、そうか。

エルミート行列は、(対角でない限り)非対称ですね。
これは一本取られた。
行列の正値性は、対称行列ではなく、
エルミート行列に限って定義しなくては。
実エルミートなら、対称ですからね。

しかし、依然として、
非エルミート行列を係数とする二次型式が正値であっても、
その行列を「正値行列」と呼ぶべきでないことは変わりません。

この回答へのお礼

遅くなりましたが、回答ありがとうございました。

お礼日時：2011/06/25 10:34

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/10 16:33

二次形式を、一旦二次多項式に展開してから、

対称行列を係数に持つように書き直せば、
二次形式が正値か否かは議論できます。
axx+bxy+cyy なら、
a b/2
b/2 c
を係数行列とすればいい。
実対称行列の固有値は実数だけですから、
書き直した行列の固有値に虚数は出てきません。
その固有値が全て正であることが二次形式が正値であることの、
正と 0 であることが半正値であることの、必要十分条件です。

しかし、非対称行列 A を係数とする二次形式が正値だったとしても、
A 自身が正でない固有値を持つ場合、
「行列 A が正値」とは言いません。
ただ「二次形式 xAx が正値」であるだけです。
両者は異なる話です。

No.3 回答者： reiman 回答日時： 2011/06/10 16:00

nを2以上の整数とし

Aをn次実行列とし
xをn次実列ベクトルとする
(任意の行列XについてX^TをXの転置とする)
零ベクトルでない任意のxについて
S=x^T・A・x
が正であるときAを正値であるという
S=(S+S^T)/2=x^T・(A+A^T)・x/2
であるから
Aが正値⇄(A+A^T)/2が正値
M=(A+A^T)/2
は実対称行列であるから
行列が正値であるかどうかを論ずるときには
実対称行列だけを議論の対象にすればよい

今回の場合
√2・M=
[1 0]
[0 1]
でありMの固有値は1/√2であり正であるから
与行列は正値である

nを2以上の整数とし
Aをn次エルミート行列とし
xをn次複素列ベクトルとする
(任意の行列XについてX^*をXの複素共役転置とする)
零ベクトルでない任意のxについて
S=x^*・A・x
が正であるときAを正値であるという
Aが正値⇄Aの実数部行列が正値
であることは簡単に示すことができる

以上まとめて
行列が正値であるかどうかを論ずるときには
エルミート行列や対称でない実正方行列を考えることは意味が無く
実対称行列だけを議論の対象にすればよい

No.2 回答者： reiman 回答日時： 2011/06/10 13:53

nを整数とし

Aをn次実行列とし
xを実列ベクトルとする
(*^Tを*の転置とする)
零ベクトルでない任意のxについて
S=x^T・A・x
が正であるときAを正値であるという
S=(S+S^T)/2=x^T・(A+A^T)・x/2
であるから
Aが正値⇄(A+A^T)/2が正値
M=(A+A^T)/2
は実対称行列であるから
行列が正値であるかどうかを論ずるときには
実対称行列だけを議論の対象にすればよい

今回の場合
√2・M=
[1 0]
[0 1]

でありMの固有値は1/√2であり正であるから
与行列は正値である

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/06/10 12:23

その本で「正定値行列は固有値が全て正」としているなら, その行列は「正定値じゃない」ということになるのではないかなぁ.

もちろん, 「実は問題が間違っている」という可能性もある.