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a**n≡1(mod p)ならばe|n
特にe|p-1である。

という位数の証明についての質問です。

n=eq+rとおいて
a**n=(a**e)**q・a**rより、a**r≡1(mod p)
というところまでは理解できたのですが、
eの最小性よりr=0
というところが分かりません。
位数の最小性ってどんなことですか?
どうか教えてください。

A 回答 (1件)

> 位数の最小性ってどんなことですか?


>
「位数の定義」を捕捉してみてください。
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Qチワワは犬ではない?

お世話になります。

チワワは本当は犬ではないと言う噂があるのですが、本当でしょか?
他の犬との交配も出来(遺伝的に別種であれば不可能の筈)、世界最小の犬であると公認されていますので私は間違いなく犬だと思ってますが、一部に遺伝学的には犬ではないと言う様な噂があるのだそうです。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=872217

実のところどうなんでしょうか?
このカテゴリでは識者の方も沢山いらっしゃると思いますので何かご存知の方がいらっしゃいましたら宜しくお願いします。
またこの話の元をご存知の方も宜しくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんは。

チワワは間違いなく犬です。あきらかに遊びの記事を真に受けた人がいた、と言うのが真相のようです。

http://x51.org/x/04/05/2658.php

参考URL:http://x51.org/x/04/05/2658.php

Q|a(n+1)|≦r|an|⇒|an|≦r^(n-1)|a1|

|a(n+1)|≦r|an|⇒|an|≦r^(n-1)|a1|

これはどういう変形を行っているのでしょうか?
nで割っている?教えてください。

Aベストアンサー

任意の n ≧ 1 で |a(n+1)| ≦ r |an| ( r>0 )が成り立つと言っているわけですから、
n≧2で |a(n)| ≦ r |a(n-1)|
さらに、n>2 のとき |a(n-1)| ≦ r |a(n-2)| も成り立つのだから、
|a(n)| ≦ r |a(n-1)| ≦ r (r |a(n-2)|) = r^2 |a(n-2)|

これを次々と繰り返せば
|a(n)| ≦ r |a(n-1) ≦ r^2 |a(n-2)| ≦・・・ ≦ r^i |a(n-i)| ≦ r^(i+1) |a(n-i-1)| ≦ ・・・
≦ r^(n-2) |a(2)| ≦ r^(n-1) |a(1)|

∴ n≧2 において、|a(n)| ≦ r^(n-1) |a(1)|

Qc言語 正負の値それぞれでの最大値最小値

大学の研究で使うデータ処理で困っています。
Microsoft Visual C++ 2008 Express Editionを使っています。

例えば、10個の値が縦一列に入ったtxtファイルがいくつかあったとして
-5,-3,-2,0,3,4,5,6,7,8,
だった場合には
プラス側の最大値・最小値をそれぞれ求め(この場合、最大は8、最小は3)
マイナス側の最大値・最小値をそれぞれ求め(この場合、最大は-2、最小は-5)
結果として表示される

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
だった場合には
プラス側の最大値・最小値をそれぞれ求め(この場合、最大は9、最小は1)
マイナス側の最大値・最小値をそれぞれ求め(この場合、最大はありません、最小はありません)
結果として表示される

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
だった場合には
プラス側の最大値・最小値をそれぞれ求め(この場合、最大はありません、最小はありません)
マイナス側の最大値・最小値をそれぞれ求め(この場合、最大はありません、最小はありません)
結果として表示される


といったプログラムを作成したいです。教えてください!

大学の研究で使うデータ処理で困っています。
Microsoft Visual C++ 2008 Express Editionを使っています。

例えば、10個の値が縦一列に入ったtxtファイルがいくつかあったとして
-5,-3,-2,0,3,4,5,6,7,8,
だった場合には
プラス側の最大値・最小値をそれぞれ求め(この場合、最大は8、最小は3)
マイナス側の最大値・最小値をそれぞれ求め(この場合、最大は-2、最小は-5)
結果として表示される

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
だった場合には
プラス側の最大値・最小値をそれぞれ求め(この場合、最大は9、最小は1)...続きを読む

Aベストアンサー

本当に研究で使うデータ処理なのかなぁ?
こんな単純なデータ処理をして結果を表示するだけなんて研究に使うとは思えない。
むしろ課題を丸投げにしているように見える。

数値が縦一列に入っているということは各数値は改行で区切られているのだから、
ファイルをオープンして一行づつデータを読み取りながら、その数値の正負零を判定し、
(零を除いて)正負それぞれの最大最小を順次残していくようにすればよい。
最後に、残った最大最小の値を表示または非存在を表示する。
大した処理ではないと思われますが。。。

もしC言語が苦手だというのであれば、Excelなどの表計算ソフトのマクロで行っても
たいしたことは無いでしょう。

Qa^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c)

文中の文字は一般的な数学公式集の条件と同じと考えて下さい。
合同式
a≡b(mod c)ならば a^n≡b^n(mod c) は成り立ちますが

a^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c) は成り立ちますか。

公式集でa≡b(mod c)ならば a^n≡b^n(mod c) はよく見ますが逆は見ません。
a^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c) が成り立つとお考えの場合には成り立つと断言して下さい。大変申し訳ないのですが質問者に対する疑問文で回答を終わらせないで下さい。
反例をあげて成り立たないと書く場合にはどういうときに成り立ち、どういうときに成り立たないかお書き下さい。

Aベストアンサー

ふつうこの手の命題は
任意の a, b, c, n に対して「a^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c)」が成り立つ
と読むし, その観点でいえば #5 で言われているように「反例を 1つ挙げる」だけで終わる.

「どういうときに成り立ち、どういうときに成り立たないか」ということを問題にするなら
a, b, c, n のうちどれを固定してどれを「任意に設定できる」ものにするか
というところから話はスタートする (すべてを任意に選んでいいなら上で終わってるし, 逆にすべて given では話にならない). 議論として面白いのは
c と n を固定したときに, 任意の a と b に対して「a^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c)」が成り立つかどうか
だろうけど, そうだとしても厳密に答えようとすると高校ではしないような話が出てくる (あるいはそのような話を使った方が議論が簡単) んじゃないかな.

Q最小値を求める問題

xを実数とするとき、次の式を最小にするxの値と最小値を求めなさいという問題です。

√(x^2+6x+25) + √(x^2-12x+40)

平方完成すると、= √{(x+3)^2+16} + √{(x-6)^2+4}
前半を最小にするx=-3,後半を最小にするx=6はわかるのですが、それぞれの値が違います。
両方を同時に最小にするxの値がないとき、前半+後半の最小値をどう求めたらいいですか。

Aベストアンサー

f(x)=√(x^2+6x+25) + √(x^2-12x+40)
とおけば、
f’(x)=(x+3)/√(x^2+6x+25) + (x-6)/√(x^2-12x+40)
={(x+3)√(x^2-12x+40)+(x-6)√(x^2+6x+25)}/{√(x^2+6x+25)√(x^2-12x+40)}

(x+3)√(x^2-12x+40)+(x-6)√(x^2+6x+25)=0
のとき、f(x)は極値となるので、
(x+3)√(x^2-12x+40)=-(x-6)√(x^2+6x+25)
の両辺を2乗して、xの範囲に注意して解けばxが求まります。

Qどなたか分かる方教えて頂けませんか?二次関数の最大最小の問題です。

どなたか分かる方教えて頂けませんか?二次関数の最大最小の問題です。

二次関数y=2X^2-4X+3の0≦X≦aにおける最大値、最小値を求めなさいと言う問題なんですが、自分なりに解いてみたら、
0≦a<1の時:最大値3(X=0)、最小値2a^2-4a+3(x=a)
1≦a<2の時:最大値2a^2-4a+3(x=a)、最小値1(x=1)
2≦aの時:最大値2a^2-4a+3(x=a)、最小値3(x=2)となりました。

解答は
0≦a≦1の時:最大値3(X=0)、最小値2a^2-4a+3(x=a)
1<a≦2の時:最大値3(x=0)、最小値1(x=1)
2<aの時:最大値2a^2-4a+3(x=a)、最小値1(x=1)となりました。
下の二つは分かったのですが一番上の場合の最小値は1だと思います。なぜ解答のようになるのか分かる方教えて下さい。お願いします。長文ですみません。

Aベストアンサー

結論から言うと、等号の扱いをどうするのかという問題になる。

>下の二つは分かったのですが一番上の場合の最小値は1だと思います

それも間違いではないが、それはa=1の場合に該当する。
最大値と最小値のグラフを書いてみるとわかるが、a=1の場合でも連続になっているだろう。
だから、その場合も含めて aについての場合わけは次のようにすると良い。
全ての両端に等号を付けても間違いではないから。

0≦a≦1の時:最大値 3(X=0)、最小値 2a^2-4a+3(x=a)
1≦a≦2の時:最大値 2a^2-4a+3(x=a)、最小値 1(x=1)
2≦aの時:最大値 2a^2-4a+3(x=a)、最小値 1(x=1)

従って、a=1の場合も含む解であることから、参考書(問題集)の解の方がベターだと言える。
君の解の方が、特殊なa=1を解にしていることから一般性がないので、むしろ不適当と言える。

Qa≡b(mod m),c≡d(mod m)⇒ac≡bd(mod m)の逆は成立つ?

こんにちは。

参考書に合同式3x+5≡7(mod11)の解き方が載ってまして

3x≡2(mod11)
12x≡8(mod11)
x≡8(mod11)

とすんなり解かれていたのですが
最後の部分は命題
a≡b(mod m),c≡d(mod m)⇒ac≡bd(mod m)
(12≡1(mod11),x≡8(mod11)⇒12・x≡1・8(mod11))
の逆を使ったのかと推測しましたが一般に逆は成立つのですか?

それとも別の命題を使われてるのでしょうか?

Aベストアンサー

逆は成り立ちません。
そもそも、
>ac≡bd(mod m)
の左辺も右辺も分解は一意ではないですし。(例えば、a*cとも,1*(ac)とも表せる)

該当する部分で使っているのは、
・12x-x=11xが11の倍数である事、すなわち、12x≡x (mod 11)が成り立つ事
・推移律(a≡b,b≡c⇒a≡c)
の2つです。

Q多変数関数の最小値

多変数関数の最小値を最急降下法で求めようとする場合、大域的な最小ではなく、局所的極小値につかまってしまう場合があることは良く知られています。しかし量子力学ではトンネル効果で壁を通り抜けて必ずポテンシャルエネルギー最小の状態にいくはずだから、これを利用して最小値が求められそうに思います。多変数のWKB法は難しいそうですが、これにより多変数関数の最小値は求められるのでしょうか。

Aベストアンサー

問題の関数をポテンシャルとして,
その中にある粒子を量子力学で考えるということでしょうか.
すぐに思いつくのは次の2点ですね.

(A) 量子力学的に考えるなら,全エネルギーが最小になるような状態を探すことになります.
これがポテンシャルの最小付近に局在した状態とは限りません.
簡単に1次元にして,2つのポテンシャル極小を
(1)  (k_1/2)(x-x_1)^2 + V_1
(2)  (k_2/2)(x-x_2)^2 + V_2
で近似します.
そのあたりに局在した状態の最低エネルギーはそれぞれ
(3)  E_1 = V_1 + (1/2)(hbar)ω_1
(4)  E_2 = V_2 + (1/2)(hbar)ω_2
程度ですから
(ω=√(k/m),m は粒子質量, hbar はプランク定数を2πで割ったもの),
V_1 < V_2 であっても E_1 > E_2 という状況は十分に可能です.
つまり,最小値が付近のポテンシャルが狭くて深くなっていれば,
そこに局在した状態がエネルギー最小とは限りません.

(B) 真の最小でない極小付近に局在してしまった状態から
量子ゆらぎで脱出するのに要する時間も問題にしないといけないでしょう.
ちょっと峠の高さが高いと宇宙の年齢など目じゃないほど時間がかかったりします.
WKB 法の例題に,
車が小山(古典的には乗り越えられない)を量子力学的に「すり抜ける」確率を求める,
なんていうのがありますが,とんでもない小さな確率になります.
質量 m を小さくすれば確率は大きくなりますが,
そうすると(A)の方で具合が悪くなります.

でも,この回答じゃ grothendieck さんには釈迦に説法ですよね.

問題の関数をポテンシャルとして,
その中にある粒子を量子力学で考えるということでしょうか.
すぐに思いつくのは次の2点ですね.

(A) 量子力学的に考えるなら,全エネルギーが最小になるような状態を探すことになります.
これがポテンシャルの最小付近に局在した状態とは限りません.
簡単に1次元にして,2つのポテンシャル極小を
(1)  (k_1/2)(x-x_1)^2 + V_1
(2)  (k_2/2)(x-x_2)^2 + V_2
で近似します.
そのあたりに局在した状態の最低エネルギーはそれぞれ
(3)  E_1 = V_1 + (1/2)(...続きを読む

Qp,qが素数のときn^{(p-1)(q-1)+1}≡n (mod pq

p,qが素数のときn^{(p-1)(q-1)+1}≡n (mod pq)になりますか?
nがpともqとも互いに素であるときは、
Fermatの小定理を使えばn^{(p-1)(q-1)}≡1 (mod pq)
が言えるので、標記の命題は言えると思うのですが

pまたはqのいずれか一方がnと互いに素でないとき
n^{(p-1)(q-1)}≡1 (mod pq)は言えないものの
n^{(p-1)(q-1)+1}≡n (mod pq)は言えてしまっているように思えます
(私がやったケースはp=3,q=11の場合です)。

これは正しいのでしょうか?
正しいとしたら何故ですか?

Aベストアンサー

p と q が互いに素なので、
与式が mod pq で成立することは、
同じ式が mod p と mod q の両方で成立する
ことと同値です。

p と q が素数であることから、
n は、p,q それぞれについて、
割り切れるか、互いに素であるか
のどちらかです。

n が p の倍数である場合、
両辺が ≡0 (mod p) になるので、
与式は mod p で成立します。

n が p と素な場合、
(n の q-1 乗) も p と素なので、
フェルマーの小定理より、
(n の q-1 乗) の p-1 乗 ≡ 1 (mod p) です。
両辺に n を掛ければ、
与式が mod p で成立することが解ります。

mod q についても、同様。


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