2x^2+7xy+3y^2+9x+7y+4=55を満たす自然数x、yを求める。

(左辺)=(x+3y+4)(2x+y+1)=55   
     ↓    ↓     
   (1+3・1+4) (2・1+1+1)

よって x+3y+4=11  
     2x+y+1=5    ゆえにx=1、y=2

解説には左辺より(8以上)×(4以上)だから11×5でOKとあったのですが、
何を意図してるのかさっぱりわかりません。
この(8以上)×(4以上)というのはどこからきたのですか?
また、(x+3y+4)(2x+y+1)=55からx、yの値を
求めるために方程式が導き出されるのも不思議です。
   

A 回答 (5件)

fushigichanさんの回答で十分だと思いますが、ちょっと気になることがあったので。



自然数が1以上とはどこにも書かれていないのが曲者と思いました。
大学の数学では0も入ることがあるので、0のときを考えれば、
x+3y+4は4以上、2x+y+1は1以上。
すると、
(55*1)、(11*5)、(5*11)の3通りの回答があるような・・・
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pmcさん、こんにちは。



>(左辺)=(x+3y+4)(2x+y+1)=55   
     ↓    ↓     
   (1+3・1+4) (2・1+1+1)

よって x+3y+4=11  
     2x+y+1=5    ゆえにx=1、y=2

>解説には左辺より(8以上)×(4以上)だから11×5でOKとあったのですが、
何を意図してるのかさっぱりわかりません。

x=1,y=1を代入しているのは、
xとyがともに一番最小の自然数であった場合、です。
一番小さいときで、x=y=1を代入してみると、

x+3y+4=8になります。
2x+y+1=4になります。

x,yは自然数、ということですから1以上の整数が入るわけで
(x+3y+4)と(2x+y+1)の値は、それぞれ
最小のときの8、4以上になることは分かると思います。

なので、(8以上)×(4以上)
となるのですね。

さて、ここで55という数字は
1×55
5×11
11×5
55×1
の4とおりに分解できますね。

そのうち(8以上)×(4以上)となる組み合わせは

11×5
のときしかありません。

なので
x+3y+4=11
2x+y+1=5
この2つの連立方程式を解いた答えが、求めたい答えになります。

>また、(x+3y+4)(2x+y+1)=55からx、yの値を
求めるために方程式が導き出されるのも不思議です。
 
x、yがそれぞれ自然数(正の整数)という条件がありますから
(x+3y+4)も(2x+y+1)もまた、自然数になります。
しかも
(x+3y+4)は8以上の整数
(2x+y+1)は4以上の整数、ということが分かりましたから
あとは、55を分解して(自然数)×(自然数)の形にすればいいのです。

ご参考になればうれしいです。頑張ってください。
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x,yが整数というだけであれば,



(x+3y+4)(2x+y+1)=55

から得られる値の組は

(x+3y+4,2x+y+1) = (1,55),(5,11),(11,5),
(55,1),(-1,-55),(-5,-11),(-11,-5),(-55,-1)

の8組あります。(55の約数から8組に決まるということはいいですね?)

これらを全部調べて自然数となる(x,y)を選ぶというのも一つの手ですが,それではあまりに大変なので,xとyが自然数であることから場合を絞ろうとしているわけです。

x,yは自然数なので,特にx≧1,y≧1ですから,

x+3y+4 ≧ 1+3*1+4 = 8
2x+y+1 ≧ 2*1+1+1 = 4

と絞られ,上の8組の中で,これを満たすものは

x+3y+4 = 11,2x+y+1 = 5

だけです。
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自然数とは何かと云うことです。


自然数は、正の整数で1,2,3,4,…
よって、自然数の1番小さい数は1これを、
x , yに代入しますと、x+3y+4=8, 2x+y+1=4此が1番小さいものとなります。
従って、x+3y+4>=8, 2x+y+1>=4
そして、右辺の55を2個の整数の積としたものです。
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この問題は、x、yが自然数であるという条件がポイントになっています。

自然数は1以上の整数ですから、
x+3y+4の値は、x=1、y=1でも7になるので、7より小さくなることはありません。
2x+y+1についても同様に5より小さくなることはありません。
両式とも自然数ですから55=11×5としか分解できないので、
x+3y+4=11
2x+y+1=5
しか考えられないわけです。
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