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線形代数の問題で考え方がわからない問題があります。(添付ファイル)

与えられた線形写像と基底に対応する表現行列を求めるのはできるのですが、表現行列から線形写像を求める方法がわかりません。
力不足でお恥ずかしい限りですが考え方を教えてください。お願いします。

「線形写像を求める問題で」の質問画像

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A 回答 (2件)

(x,y,z) を、基底 { (2,1,1), (-1,-1,1), (3,0,2) } の上で


成分表示してみればいいでしょ?
(x,y,z) = a(2,1,1) + b(-1,-1,1) + c(3,0,2) を満たす
a,b,c を求めるには、連立一次方程式を解けばいいよね。
その (a,b,c) に、行列
3   0   1
2  -1   3
を掛けたものが、基底 { (1,4), (2,5) } 上の成分表示になる訳だ。
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えぇっと....



「与えられた線形写像と基底に対応する表現行列を求めるのはできる」んですよね. だったら, 線形写像を適当において「そこから得られる表現行列が指定されたものになる」という条件から方程式を立てればいいのでは?

もちろん (おそろしく) 効率は悪いが, 原理的にはこれで求まる.
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Q線形写像Tの求め方

大学の線形台数の授業で今、線形写像の範囲を勉強しているのですが、
線形写像Tの求め方がわかりません。

問題は「T([1,2])=([3,1,-6])とT([-1,1])=[-3,5,6]より線形写像Tを求めよ
」(T:V^2→V^3)というものなのですが、Tをどのように求めればよいか分かりません。

高校では2つの式をくっつけて逆行列をかけて…と、
このようにして解いていたのですが、大学ではすべてが2次正方行列ではないので
しっかりと大学で教わった解き方で解きたいです。

自分の考えでは、T=[T(1,0),T(0,1)]=[T(e1),T(e2)]にすればよいと思うのですが、
どの様にしてこの形に持っていくのでしょうか?
それ以前にこの考え方(方針)は間違っているでしょうか?

どうかよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

[1,2] = [1,0] + 2[0,1]
T[1,2] = [3,1,-6] = T([1,0]) + 2T([0,1])   (1)

[-1,1] = -[1,0] + [0,1]
T([-1,1]) = [-3,5,6] = -T([1,0]) + T([0,1])   (2)

(1)と(2)の連立方程式を解けば、
T([1,0]) とT([0,1])が出ます。

こっちの方が計算が楽だね。

Q表現行列の求め方

行列
1 2 -1 4
0 1 2 3
2 3 -4 5
に対応する線形写像f:R4→R3について
R4の標準基底{e1,e2,e3,e4},R3の基底{(1 1 2),(3 5 4),(1 1 1)}に関するfの表現行列
はどうやって求めたらいいのでしょうか。
試験が近いのですがこのあたりがよく分からなくて詰まっています。
よろしければ回答お願いします。

Aベストアンサー

質問冒頭の行列が、R4, R3 各標準基底上の
f の表現行列です。これを F と名付けましょう。
所与の R3 の基底を列ベクトルとして並べた
行列を P と置くと、求める行列は、
行列積 (Pの逆行列)F で表されます。
R4 の側も別に基底を指定するようなら、
その基底を列ベクトルとして並べた
行列を Q と置いて、求める行列は、
(Pの逆行列)FQ です。
今回は、Q が単位行列ですね。

Q線形写像のImfの基底

大学の数学なのですが、この問題が解けずに困っています。

写像f:R*5→R*5を、f(x)=Axで定める。(Aは5×5行列)このとき、Imfの基底を求めよ。
Aは、具体的な値を与えられていますが、ここでは書けないので省略させていただきます。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

行列式を、基本変形する
    ↓
列が単位行列のようになる部分が出てくるはず。
(ここでは横書きですが、|10000,01000,00100|のような形)
    ↓
その部分と、元の式との対応する部分がImfだと思います。
(例えばR*3の時、元の行列式が |101,211,-11-2|だとする)
  ↓基本変形して
|100,010,-310|
となったら,Imfは、{(101),(211)}の次元2。
全部行列式が、横に書いてあるんですけど、縦書で・・・。
こんなんで分かるでしょうか??
ものすごい分かりにくくてすいません・・・。
参考になれば・・・

Q像と核の基底と次元を求める問題がわかりません。

f(x、y)=(x-2y、2x+y、3x-y)
という問題です。
基本変形をして

|1 -2|   |1 -2|
|2  1 |→ |0  5|
|3 -1|   |0  5|

となりImf=<t(1,2,3)> 次元=1
であってるか分かりませんが、Kerfが分からないので求めてください。

Aベストアンサー

質問文中で、階段化はできていますよね?
これを見れば、表現行列の rank は 2
であることが判ります。

像の次元は、rank と等しいので、2。
行列の列数が 2 で、次元と同じですから、
像の基底は、列を取り出して並べるだけ。
何も考える必要がありません。

核の次元は、行列の行数-rank なので、1。
一次元だから、核の基底は、行列を掛けて零
になる列ベクトルを一つ求めればよく、
それらが一次独立かどうかを気にせず済みます。
単に、連立一次方程式を解くだけです。


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