無限に深い井戸型ポテンシャルについて、GaNの層厚d=0.5nm、伝導帯電子の有効質量me=0.2m0の
とき

(1)基底状態、第一励起状態および第二励起状態のエネルギー固有値E1,E2,E3をeVの単位であらわすとどうなるのですか?

(2)GaNの伝導帯の3次元状態密度および、この問題のような2次元の状態密度を計算した場合の状態密度とエネルギーの関係はどうなるのでしょうか?

自分で勉強してみたものの、無限に深い井戸型ポテンシャルだけは良くわかりません。どなたか教えていただけるとさいわいです。

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A 回答 (1件)

(1)「井戸の壁の高さが無限大」から言えることは、「壁面において波動関数の値はゼロでなくてはならない」です。

これが計算の過程において境界条件として課されます。
ご質問の場合の量子井戸内の波動関数は以下のようになります。左側の壁をx=0の原点に取り、また井戸の壁を太線(┃)で示しています。図示の制約から正確には描けませんが雰囲気は分かっていただけると思います。古典的な振動のイメージで言うならば「壁面の位置と振動の節が一致している」ということです。

[基底状態]
・      ・
:↑波動関数 :
┃      ┃
┃  __  ┃
┃ /  \ ┃ 
┃/    \┃←壁の位置では波動関数ψ=0
┃      ┃
x=0     x=d


[第一励起状態]
・      ・
:      :
┃      ┃
┃ _    ┃
┃/ \   ┃←壁の位置では波動関数ψ=0
┃   \ /┃
┃     ̄ ┃
     

[第二励起状態]
・      ・
:      :
┃      ┃
┃      ┃
┃/\  /\┃←これまた、壁の位置では波動関数ψ=0
┃  \/  ┃
┃      ┃


井戸内部における、定常状態のSchroedinger方程式は
(h~^2/2m_e)(d^2/dx^2)ψ+Eψ=0  (1)
です。ψは波動関数、h~はhバー(Planck定数÷2π)です。また「m×e」との混乱を避けるため有効質量はmeでなくm_eと表記しました。
この方程式は2階線形の斉次微分方程式ですから
ψ=A1 sin(kx) + A2 cos(kx)  (2)
の形の解となることは自明です。ここにkは{√(2m_e E)}/h~です。またx=0でψ=0との境界条件がありますからA2=0もすぐに分かります。
さてもう一つの境界条件、x=dでψ=0を検討します。これは(2)にx=dを代入することで
d×{√(2m_e E)}/h~=π, 2π, 3π,...,nπ  (3)
とすぐに書き換えられます。
(3)をエネルギーEの式に変形すると
E=n^2 {(h~π^2}/2m_e d^2  n=1,2,3,...  (4)
ということになります。エネルギーEはnに応じてとびとびの値しか許されないことが分かります。
題意から、n=1が基底状態、n=2が第一励起状態、n=3が第二励起状態に相当します。数字を代入して計算するのはセルフサービスでいいですよね。m_eをkg単位、h~をJ・s単位で代入したならば最終結果はJ単位で出てきますから、電荷素量で除して電子ボルトの単位に直すのをお忘れなく。

(2)これも上記と同様に考えることができます。
3次元の大きな直方体の箱を考えて下さい。各辺の長さをL_x, L_y, L_zとします。この箱の中に電子が存在するとしましょう。箱の内部ではポテンシャルは一様でゼロとし、箱の外ではポテンシャルは∞とします。従って箱の内壁面において電子の波動関数ψが0という境界条件が課されます。
(1)では電子の運動は1次元(1自由度)で考えましたが、今度は3次元で考えなくてはなりません。3次元空間のSchroedinger方程式(定常状態)は箱の内部においては
(h~^2/2m_e)(∇^2)ψ+Eψ=0  (5)
となります。∇^2はラプラシアンです。この方程式はψを変数分離(ψ=X(x)×Y(y)×Z(z))して解くのが常道です。解き方は量子力学の初歩の教科書には大抵載っていますから、詳細はそちらで読んで下さい。
計算結果だけ示しますと、やはりこの場合もエネルギーEの値はとびとびのものに限られ、その値は
E=(h~^2/2m_e)×{(πn_x/L_x)^2 +(πn_y/L_y)^2 +(πn_z/L_z)^2}  (6)
となります。n_x, n_y, n_zは整数で1,2,3,..の値を取ります。これは(4)と同じことで各壁面でψ=0という境界条件が課されるところから生じていますが、今度はx, y, zの3方向ありますからある一つの状態を表現するには整数の3つ組が必要、ということです。

ではいよいよ状態密度Z(E)、すなわち単位体積・単位エネルギー領域で収容できる電子数について考えてみます。
まず波数という物理量を導入します。一般にある波動があった場合、その波長λに対し2π/λという物理量を考え「波数」と呼びます。長さ方向にどれくらい波が詰まっているかを表す量です。
今考えている箱の中の波動関数で、例えばL_x/n_xは半波長に相当する量ですから、この場合の波数(x方向の波数)はπn_x/L_xということになります。同様にy方向についてπn_y/L_y、z方向についてπn_z/L_zがそれぞれ波数です。
波数はx, y, zの各方向についてk_x, k_y, k_zなどと表され、また(k_x, k_y, k_z)のように3つ組にしたものは「波数ベクトル」と呼ばれます。
波数を用いると(6)は
E=(h~^2/2m_e)×{k_x^2 +k_y^2 +k_z^2}  (7)
と変形できます。この式は波数とエネルギーの関係を表すものです。また波数を変数と考えると(7)は波数空間(3次元)での球面の式を表していることになります。(ただし定常状態となり得る波数がπ/L_xなどの整数倍、すなわち格子点に限られることは変わりありません)

これを知った上でエネルギーEとE+dEの間にある状態数Z(E)dEを考えてみましょう。
さてまず(7)で示したように等エネルギー面は波数空間で球面をなします。半径{√(2m_e E)}/h~の球と、半径[√{2m_e (E+dE)]/h~の球の間の体積差を考えると
[{√(2m_e)}/h~]^3 (4π/3){(E+dE)^(3/2)-E^(3/2)}  (8)
ですが、dEはEに比べて十分に小さいので
[{√(2m_e)}/h~]^3 (4π/3){(3/2)√E dE}
=2π[{√(2m_e)}/h~]^3 √E dE  (9)
となります。
一方、許される波数は波数空間で格子点として存在しています。その密度は波数空間の体積π/L_x×π/L_y×π/L_zあたりに1つですが、1つの準位に電子は2つまで入れますから電子の状態数にするには2を掛けます。
これを(9)にかけると、
2×(L_x×L_y×L_z)÷π^3×2π[{√(2m_e)}/h~]^3 √E dE
=(L_x×L_y×L_z)×4√(2m_e) √E÷(π^2×h~^3) dE  (10)
を得ます。n_x, n_y, n_zは正の値に限られますので、(10)の1/8が実際の状態の数ということになります。また状態密度は単位体積で定義していますから、(10)をさらに実空間の体積L_x×L_y×L_zで除して
(1/8)×{4√(2m_e)^3 /π^2×h~^3} E^(1/2) dE  (11)
を得ます。従って状態密度Z(E)は
Z(E)={√(2m_e)^3 /2 π^2×h~^3} E^(1/2)  (12a)
あるいは
Z(E)=4π{√(2m_e)/h}^3 E^(1/2)  (12b)
ということになり、いずれにしてもZ(E)はエネルギーEの平方根に比例することが分かります。ここにhはPlanck定数です。グラフにするとおよそ以下のようになります。

↑Z(E)
│      *
│   *
│ *
│*
└───────→E

以上は3次元でのお話です。では2次元ではどうなるでしょうか。2次元、すなわち薄膜中での電子伝導は(7)式までは同じですがその先が少し異なります。
薄膜はx方向について極めて薄く、y方向およびz方向には十分に大きく広がっているとしましょう(L_x≪L_y, L_z)。すると波数空間において、許されるk_xの値は極めて限られたものになり、その相互の間隔は許されるk_yやk_zの間隔に比べて非常に大きくなります。格子点はy方向とz方向には稠密ですが、x方向には相当に離散的ということです。
この場合エネルギーEとE+dEの間の状態数の差は、球の体積の差でなく円の面積の差で求めることになります。
まずx方向の基底状態はn_x=1について、
E=(h~^2/2m_e)×{(π/L_x)^2 +(πn_y/L_y)^2 +(πn_z/L_z)^2}
{(2m_e E/h~^2)-(π/L_x)^2}=(πn_y/L_y)^2 +(πn_z/L_z)^2  (13)
となります。(13)は球の方程式でなく、円の方程式と看做すべき式です。
波数空間の平面k_x=π/L_xにおいて、半径√[(2m_e E/h~^2)-(π/L_x)^2]の円と半径√[{2m_e (E+dE)/h~^2}-(π/L_x)^2]の円の面積差は明らかに
π{2m_e/h~^2} dE  (14)
です。
またこの平面内において許されるL_y, L_zの面積密度は、π/L_y×π/L_zあたりに2つです。2つになる理由は上記と同じ(スピンの差異で2つの電子が入りうるから)です。
さらにn_y, n_zは正の値に限られることを考えると、許される状態の数は
2×(1/4)×π{2m_e/h~^2}×L_y×L_z÷π^2 dE  (15)
ということになります。実空間の単位体積当たりに直せば
2×(1/4)×{2m_e/h~^2}/(L_x π) dE
=4π m_e/(L_x h^2)  (16)
ということになります。すなわちEの値によらず状態密度は一定という結果になります。
ただし、ある程度Eの値が大きくなってくると今度はn_x=2の場合が入ってきますから、それも含めて状態数を計算する必要が生じてきます。しかしn_x=2であっても(16)の結果は同じであり、n_x=1についての状態密度とn_x=2についての状態密度を単に足し合わせれば全体の状態密度になるということです。
これは言葉で表現するより図を見てもらった方が早いでしょう。以下のような階段状のグラフになります。なお階段の段の高さはどこでも同じです。

↑Z(E)
│          
│      *******
│   *****
│ ***
│ **
└───────────→E

以上はかなり駆け足で説明したのと計算間違いをしている可能性があるのとから、miake-kiyoshiさんご自身で検算しながら、また教科書などで復習しながら読んでいただければ幸いです。

参考URLのページには精細な波動関数の図や状態密度のグラフがありますからぜひ一読ください。

参考URL:http://www.qed.eedept.kobe-u.ac.jp/japanese/semi …
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この回答へのお礼

大変ありがとうございました!とても解りやすく解説してあったのでなっとくができました!
今後は自分の力で勉強していきたいとおもいます!

お礼日時:2003/10/27 04:22

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金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?
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Aベストアンサー

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体の中において金属の自由電子に相当するものは、電子とホールです。この2つは電流を担う粒子ですので、「キャリア」(運ぶ人)と言います。
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こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

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Q三次元の井戸型ポテンシャルについて

量子力学の質問です。

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つまりψ(x,y,z,)=ψ(x+L,y,z,)=ψ(x,y+L,z)=ψ(x,y,z+L)
という条件のとき

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>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
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No1 の回答の式より
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あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
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 E≒1240/λ[eV]
となります。

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>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
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Qエクセル(Excel)で、数値を一定の有効数字で表示したいのですが…

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事務計算で小数点以下何桁というのが重要であるように、技術計算ではこのように有効数字を揃えたい場合が多いと思いますので、どなたかご存じの方、お教えください。
なお、指数形式では似たような結果になりますが、わかりにくい表示なので使いたくありません。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

◆こんな方法もありますよ
=ROUND(A1,2-INT(LOG(ABS(A1))))

★「0」を考慮すると
=ROUND(A1,2-INT(LOG(ABS(A1)+(A1=0))))

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僕は面間隔の説明として「ある面の面間隔は,その隣りの立方格子の同じ位置にある結晶面までの距離」だと思っていました.

ここで思ったことがあります.
結晶面(020)の面間隔を求めるとします.

この数値式(1)に代入するとd=a/2となります.
これが正しいなら「面間隔は原点から面までの距離」と言う説明があっているような気がします.

しかし,(020)は最もかんたんな整数比に直すと(010)となり,面間隔d=aとなります.
これが正しいなら「ある面の面間隔は,その隣りの立方格子の同じ位置にある結晶面までの距離」が合っている気がします.

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1つの面上に格子点が並んでいる面がいくつか見えます。
こういう面があるということがまず出発点です。

>面間隔は原点から面までの距離

原点は数学的な原点ではありません。格子点の1つです。
立方格子の1つの格子点を原点にとっているのです。
この原点を通る面も同じようにあるのです。
「原点から面までの距離」というのは
「原点を通る面とその隣の面までの距離」と言っていることと同じです。

立方格子の結晶模型といっても立方格子を作る6つの格子点だけでできた模型を考えている場合が多いです。体心立方格子ならその中にもうひとつ格子点を入れます。
これでは面を考えるのには不足です。
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expという理解できない記号があります。
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expのプロ?のご意見が聞きたいです。

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log x と書き、自然対数と呼びます。
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指数関数と呼びます。

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近似値で e ≒ 2.718281828… であり、
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( -7 -5 )
( 13 9 )

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Av = λv の形で固有ベクトルを求めようとすると

( -8 + 2i ) x - 5 y = 0
13 x + ( 8 + 2i ) y = 0

の形になり、その先を求めることが出来ません。
何度も計算したので最後の2つの式は間違いは無いと思うのですが、
固有値が複素数の時は、Av = λv の方法で計算することは出来ないということでしょうか?
またどのように計算できるのでしょうか?
お知恵をお貸しいただければ幸いです。

Aベストアンサー

固有値は1±iになるかと…

そこから先の計算は普通に実数の時と同じ方法で計算できます.

Qカットオフ周波数とは何ですか?

ウィキペディアに以下のように書いてました。

遮断周波数(しゃだんしゅうはすう)またはカットオフ周波数(英: Cutoff frequency)とは、物理学や電気工学におけるシステム応答の限界であり、それを超えると入力されたエネルギーは減衰したり反射したりする。典型例として次のような定義がある。
電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。


ですがよくわかりません。
わかりやすく言うとどういったことなのですか?

Aベストアンサー

>電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
>導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
>遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。

簡単にいうと、一口に「カットオフ周波数」と言っても分野によって意味が違う。
電子回路屋が「カットオフ周波数」と言うときと、導波管の設計屋さんが「カットオフ周波数」と言うとき
言葉こそ同じ「カットオフ周波数」でも、意味は違うって事です。



電子回路の遮断周波数の場合
-3dB はエネルギー量にして1/2である事を意味します。
つまり、-3dBなるカットオフ周波数とは

「エネルギーの半分以上が通過するといえる」

「エネルギーの半分以上が遮断されるといえる」
の境目です。

>カットオフ周波数は影響がないと考える周波数のことでよろしいでしょうか?
いいえ
例えば高い周波数を通すフィルタがあるとして、カットオフ周波数が1000Hzの場合
1010Hzだと51%通過
1000Hzだと50%通過
990Hzだと49%通過
というようなものをイメージすると解り易いかも。

>電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
>導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
>遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。

簡単にいうと、一口に「カットオフ周波数」と言っても分野によって意味が違う。
電子回路屋が「カットオフ周波数」と言うときと、導波管の設計屋さんが「カットオフ周波数」と言うとき
言葉こそ同じ「カットオフ周波数」でも、意味は違うって事です...続きを読む


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