問題:質量mの物体が地上から十分に高い高さhから自由落下するとき、地上に衝突する直前の速さはいくらになるか。ただし、地球の半径をR、地上での重力加速度の大きさをgとする。また、大気の影響は無視せよ。
この問題の解き方がわかりません。
自分で考えたのは
力学的エネルギーの保存を用いて、運動エネルギーと万有引力による位置エネルギーの和が変化なし、という式をたててみたのですが、答えが回答とあいません。
考え方が間違っているのでしょうか?
本来の答えは√((2ghR)/(R+h))となっており、自分の出した答えは問題文に与えられていないGを使っていて、さらには二重根号まで出てきます(>_<)
どなたか、解き方を教えてください(;_;)/~~~
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
(私も理屈はよくわからないのですが不思議なことに)
地球の半径をRとしたとき、
・地上での重力加速度
と、
・地球の質量が重心(地球の中心)の一点に全部集中していて、そこから距離Rのところの重力加速度
は、同じになります。
重力の式は、
F = ma = GMm/r^2
(Mは地球の質量)
つまり
a = GM/r^2
なので、これに、r=R のとき a=g という条件を代入すると
g = GM/R^2
となるので、
G = gR^2/M …★
です。
位置エネルギー(ポテンシャル)は、力Fを距離rで積分したものです。
R+h(地表からh) から R(地表) に落ちるときの位置エネルギーの変化は、
∫[r=(R+h)⇒R] GMm/r^2・dr = GMm∫[r=(R+h)⇒R] dr/r^2
= GMm{-1/r}[r=(R+h)⇒R]
= GMm{-1/R + 1/(R+h)}
= GMm{-(R+h)/(R(R+h)) + R/(R(R+h)}
= -G・Mm・h/(R(R+h))
★を代入
= -(gR^2/M)・Mm・h/(R(R+h))
= -mghR/(R+h)
というわけで、GとMが消えてくれました。
力学的エネルギーの保存により
位置エネルギーの変化 + 運動エネルギーの変化 = 0
-mghR/(R+h) + 1/2・mv^2 = 0
v^2 = 2ghR/(R+h)
合いました。
No.3
- 回答日時:
あなたの求めた式を書いて下さい。
エネルギー保存の式で出てきた式にはGが含まれています。
この式からGを消せばいいのです。
地表での重力の大きさがmgであるという関係から
g=GM/R^2
が得られます。
これを使うと
v^2=2ghR/(R+h)
がでてきます。
(地表近くでの自由落下ではh<<RですからR/(R+h)~1となってv^2~2ghです。)
教科書では第二宇宙速度の求め方が例題の形で出てきているはずです。
そこで使っていると思います。
No.2
- 回答日時:
物体が地表にあるとき、つまり地球の中心と物体の中心の距離がRであるときの重力加速度がgで、万有引力は物体間の距離の二乗に反比例するので、地表からの高さtにおける重力加速度はgR^2/(R+t)^2となります。
従って地表面にある物体を高さhまで引き上げるのに必要な仕事はmgR^2∫(1/(R+t)^2)dt (積分範囲は0からh)
です。これが地表まで落下してきたときの運動エネルギー mv^2/2 と等しくなるとおけばいいのではないでしょうか?
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