関数f(x)=(log2x)^2+(logx2)^2-2a(log2x+logx2)+3がある。
(1)log2x+logx2=tとおくとき、tのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)f(x)の最小値をm(a)とするとき、m(a)の最大値を求めよ。

(1)からわかりません。log2x+logx2=tとおくとf(x)は2次関数になるのでグラフかいてみたり、相加相乗使ってみたりしてみましたがダメでした。

どのようにして解くのか教えてください。

※log2xは2が底、logx2はxが底です。

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A 回答 (2件)

(1)


t = log2x+logx2 =log2x+(1/log2x)
となりあとは、adinatさんの書いてあるとおりで
答えは -2≧t,t≧2 となります。
(2)
t^2 = (log2x)^2+(logx2)^2+2 より
f(x)=t^2-2at+1 になります。よって、この2次関数の頂点は(a,1-a^2)となります。
あとは、-2≧a,-2≦a≦0,0≦a≦2,2≧a 場合分けして考えます。
-2≧aの時の最小値は、1-a^2 (t=aの時)
→この時の最大値は、-3 (a=-2の時)
-2≦a≦0の時の最小値は、5+4a (t=-2の時)
→この時の最大値は、5 (a=0の時)
0≦a≦2の時の最小値は、5-4a (t=2の時)
→この時の最大値は、5 (a=0の時)
2≧aの時の最小値は、1-a^2 (t=aの時)
→この時の最大値は、-3(a=2の時)

よって、(2)の答えはm(a)=5 (a=0)となる。
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この回答へのお礼

回答していただきありがとうございます

お礼日時:2003/10/21 16:56

高校生の問題ならばx>0は間違いないでしょう。


だって2を何乗したら-1になりますか?
なんてわけわかりませんものね。
さらに高校流の定義だとx=1でもトラブルが起きますので、
x≠1も仮定しておきます。
厳密には対数の多価性も問題になってきますし。

もう少し議論を簡単にするためにy=log2xとおきます。
x>0とすればyはちょうど全実数を動きます。
そうするとlogx2=1/yであることから
t=y+1/yの動く範囲を求めなさい、ということです。
これはグラフを描けばわかりますし、
例えばy>0の時は相加相乗平均からt≧2、
y<0の時はz=-yなんかとしてみてやはりt≦-2
を得ることからもわかります。

あとは親切な方がもしかすると教えてくださるかも
知れませんが、(2)は範囲つきの二次関数の最小問題です。
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この回答へのお礼

回答していただきありがとうございます

>y<0の時はz=-yなんかとしてみてやはりt≦-2
を得ることからもわかります。
ここまでは考えが浮かびませんでした

お礼日時:2003/10/21 16:51

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Q数学I 二次関数です。次の2次関数のグラフは、関数y=2x^2のグラフをどのように平行移動したも

数学I 二次関数です。

次の2次関数のグラフは、関数y=2x^2のグラフをどのように平行移動したものか。

⑴ y=2(x-2)^2
⑵ y=2(x+5)^2
⑶ y=2(x+1)^2-2

答え ⑴x軸方向に 2
⑵x軸方向に -5
⑶x軸方向に-1、y軸方向に-2

よろしくお願いします…(._.)

Aベストアンサー

(1)~(3)のグラフと、y=2x^2のグラフを実施に書いてみれば分かります。
論より証拠、百聞は一見に如かず、です。

これが「事実」「現実」であって、理由もへったくれもありません。各々がどういう関係にあるか、
 x = -10 ~ 10
ぐらいで何点か計算して、グラフ用紙にプロットして、それを曲線でつないでみてください。
添付は、エクセルで計算して作図したものです。

Q関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。

関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。ただし、pは実数とする。

という問題で、

1)pのとりうる値の範囲を求めよ。 A. p<0,2<p
2)f(α)+f(β)をpを用いて表せ。 A.f(α)+f(β)=p^3-6p^

まではできました。答えもあっているはずです。ですが、

3)2点(α,f(α)),(β,f(β))を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

という問題がどうしても解けません。
どなたかご教授下さい。お願いします。

Aベストアンサー

中点の軌跡の座標を (X , Y) とすると、
X = ( α + β ) / 2
Y = ( f(α) + f(β) ) / 2

α + β = - p
f(α) + f(β) = 問 2)より、

上 2 式から、p を消去すれば、軌跡の方程式が求まります。
また、問 1) の p の範囲から、x の範囲も考慮する必要があります。

Q二次関数のグラフの問題です

2次関数の問題で
y=ax2+bx+cのグラフ(上に凸の形でxがマイナスのところとプラスのところで2ヶ所交わっている)のときに、a,b,cの符号を調べよ。
というもので、上に凸ということより、a<0 は分かるんですが、
b,cの符号を求め方がよく分かりません。
グラフの図が与えられているので、それを見て答えればいいだけなんでしょうか?
式から求めることはできないのでしょうか??

表記の仕方など伝わりにくいかもしれませんが、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>上に凸の形でxがマイナスのところとプラスのところで2ヶ所交わっている

この情報でaとcの正負が決定できます。bの正負を決めるには
頂点がxの正の領域か負の領域にあるかを読み取ってください。
(軸が正負のどちらにあるかということ)

>上に凸ということより、a<0 は分かる

合ってます。交点の座標を(α,0),(β,0)とすると (α>0,β<0)
y=a(x-α)(x-β)=ax^2-a(α+β)x+aαβ

aαβは正(負×負×正)ですからcは正です。

bの正負は#1さんの回答を参考に考えてください。

>グラフの図が与えられているので、それを見て答えればいいだけなんでしょうか?

まさしくグラフと式の係数を理解するための問題だと思います。
グラフと関数の関係をよく理解しておくと今後の理解が楽になりますよ。

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Q二次関数グラフの平行移動

数学から遠ざかり早10年ですが
参考書片手に勉強している者です。
試験の問題だったため答えは分かりませんが
手法のほど導いてくれませんか?
---------------------------------------------
2次関数 y=2(x-1)(x+p) (ただしp>0) について

このグラフが y=2x~2のグラフをy軸方向については
-8だけ平行移動したものであるとき、
pの値を求め、またx軸方向についてはどれだけ
平行移動したものかを答えなさい。
---------------------------------------------
今私が分かるのは下の3つの公式です。
y=ax~2+bx+c  …通る3点が分かる場合
y=a(x-α)(x-β) …x軸との交点が(α,0)(β,0)
y=a(x-p)~2+q …頂点が(p,q)、軸がx=p

答えについては
グラフの形と頂点(x,-8)という想像ができます。
どうぞ宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

平行移動を考えるときある一点に注目し、それがどのように動いたか考えます。大抵の場合頂点で考えると分かりやすいので、y=a(x-p)~2+q で考えていきます。
まず与式を上式のように変形します。
y=2(x-1)(x+p)
=2{x^2-(1-p)x-p}
=2{x^2-(1-p)x}-2p
=2{x-(1-p)/2}^2-(p^2+2p+1)/2
これはy=x^2のグラフを平行移動したものであり、問題文からy軸の正の向きに-8の平行移動であるから
-8=-(p^2+2p+1)/2
16=p^2+2p+1
0=p^2+2p-15
0=(p-3)(p+5)
p=3,-5
ただし条件p>0よりp=3
これを変形した式に代入し
(1-p)/2
=(1-3)/2
=-1
よりx軸の正の向きに-1平行移動したことがわかります。

このように平行移動の問題を考える時には一般系の式(y=ax^2+bx+c)ではなく平方完成した式(y=a(x-p)^2+q)を考えると上手く行くことが多いと思います。

Qf(x)=x^4+2x^3-5x^2-2x+5のときf(√3ー1)は□

f(x)=x^4+2x^3-5x^2-2x+5のときf(√3ー1)は□となる。

次数下げ そのまま計算するのは面倒で芸がなさすぎる。√3ー1をαとおいて、αの満たす2次の等式を利用して「根号を解消して次数下げ」が定石である。

教えてほしいところ
√3ー1をxと置いて、xの満たす2次の等式を利用して次数下げしてもいいんですか??
また、何故xではなくαと置いているんでしょうか??

教えて下さい

Aベストアンサー

こんにちわ。

√3-1= αとおいた方が、逆にわかりやすくなると思います。
いま、欲しい(答えを得たい)値は、f(√3-1)= f(α)です。
そして、
・f(α)= α^4+ 2α^3- 5α^2- 2α+ 5であり、
・αは、(αの 2次式)= 0という関係を満たしている。

となります。
(αの 2次式)= 0より α^2=・・・の形に変形すれば、
「α^2という値(=(√3-1)^2)は、αの 1次式(上式の左辺)の値に等しい」
ということですから、代入すなわち次数下げをしてもいいことになります。

「x」だと「変数」という意味合いが強いので、
√3-1という「定数」であることを明示的にするためにもαと表した方がわかりよいと思います。

Q二次関数のグラフについて。 二次関数のグラフのx^2の係数が、正のとき下に凸、負のとき上に凸、と例外

二次関数のグラフについて。

二次関数のグラフのx^2の係数が、正のとき下に凸、負のとき上に凸、と例外なく成り立つのはなぜですか?

Aベストアンサー

いちばん単純なグラフから考えると分かります。
 y=x^2が下に凸です。理由はxが正の範囲で、yは2乗してどんどんと増えます。だからはじめはゆっくり、しだいに急カーブを描いたグラフになります。xが負の範囲ではグラフの形が逆になります。それを合成すると下に凸の放物線になります。(y軸に対象)
次にy=ax^2のグラフを考えます。このyの値はx^2のa倍です。つまりaが2,3,4…のように正の数の場合は、そのまま2倍、3倍、4倍…と大きな値なっていきます。そこでy=x^2より細い放物線になりますが、下に凸の放物線には変わりありません。ところがaが負の数の場合は、同じa倍でもyの値は負の数になります。これは正の数に負の数をかけると必ず負の数になる原理ですね。だからaが-2,-3,-4…のように負の数のときは、yの値がすべて負の数にひっくり返って負の数になってしまいます。そこでグラフは上に凸の放物線になるのです。(x軸に対称)
ここまでが理解できたでしょうか。まとめると、どんなときもy=ax^2のグラフはaが正のときは下に凸で、負のときは上に凸となります。
 もっと一般化したy=ax^2+bx+cのグラフは、y=ax^2のグラフが平行移動しただけです。だからaが正のときは下に凸で、負のときは上に凸となります。「平行移動しただけ」という理由の説明は座標変換という考え方を使います。もう少し説明すると、y=ax^2のグラフをx方向に-(b/2a)、y方向に-(b²/4a)+cに移動させただけだからです。(座標軸の変換)
 ご質問の説明には、グラフの対称性と座標軸の変換という二つの考え方が基礎になっています。そこをふまえて考えれば理解できると思います。

いちばん単純なグラフから考えると分かります。
 y=x^2が下に凸です。理由はxが正の範囲で、yは2乗してどんどんと増えます。だからはじめはゆっくり、しだいに急カーブを描いたグラフになります。xが負の範囲ではグラフの形が逆になります。それを合成すると下に凸の放物線になります。(y軸に対象)
次にy=ax^2のグラフを考えます。このyの値はx^2のa倍です。つまりaが2,3,4…のように正の数の場合は、そのまま2倍、3倍、4倍…と大きな値なっていきます。そこでy=x^2より細い放物線になりますが、...続きを読む

Q【問題】f(x)=x^4+2x^3+10x^2+(10-2√2)x+2

【問題】f(x)=x^4+2x^3+10x^2+(10-2√2)x+23とする。実数αに対して, f(x)をx^2+αで割ったときのあまりを求めよ。このことを用いてf(x)を実数の範囲で因数分解せよ。

あまりを(10-2√2-2α)x-α(10-α)+23と求めたのですが…
ここからこれをどうすればいいのかわかりません^^;
あまりを0とおくのかと試みたのですが…

どなたか教えてください。
よろしくお願いします!

Aベストアンサー

>あまりを(10-2√2-2α)x-α(10-α)+23と求めたのですが…
>ここからこれをどうすればいいのかわかりません^^;
>あまりを0とおくのかと試みたのですが…
そのやり方で良いですよ。
xの係数=0とおいて、αを求めて下さい。
そのαを定数項に代入すると定数項もゼロになります。

そうすると、そのαに対して、
f(x)は(x^2+α)で割れますので、商をQ(x)の式にαを代入すれば
f(x)=Q(x)(x^2+α)
の形に因数分解できたことになります。
Q(x)は2次式ですから、2次方程式の判別式Dで調べると分かると思いますが
D<0になるので実数の範囲では因数分解できないでしょう。

Q二次関数のグラフ・・・

二次関数y=ⅹ^2-10ⅹ+21のグラフは、二次関数y=ⅹ^2のグラフを、ⅹ軸方向に「」、y方向に「」だけ平行移動したものである。


問題の意味がわかりません・・
答えはどうやって導くのでしょうか?

おねがいします。

Aベストアンサー

y=x^2-10x+21 のグラフは
y=(x-5)^2-4 と変形し
 頂点(5,-4) とわかります

y=x^2 のグラフは
 頂点(0,0) です

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む


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