関数f(x)=(log2x)^2+(logx2)^2-2a(log2x+logx2)+3がある。
(1)log2x+logx2=tとおくとき、tのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)f(x)の最小値をm(a)とするとき、m(a)の最大値を求めよ。

(1)からわかりません。log2x+logx2=tとおくとf(x)は2次関数になるのでグラフかいてみたり、相加相乗使ってみたりしてみましたがダメでした。

どのようにして解くのか教えてください。

※log2xは2が底、logx2はxが底です。

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A 回答 (2件)

(1)


t = log2x+logx2 =log2x+(1/log2x)
となりあとは、adinatさんの書いてあるとおりで
答えは -2≧t,t≧2 となります。
(2)
t^2 = (log2x)^2+(logx2)^2+2 より
f(x)=t^2-2at+1 になります。よって、この2次関数の頂点は(a,1-a^2)となります。
あとは、-2≧a,-2≦a≦0,0≦a≦2,2≧a 場合分けして考えます。
-2≧aの時の最小値は、1-a^2 (t=aの時)
→この時の最大値は、-3 (a=-2の時)
-2≦a≦0の時の最小値は、5+4a (t=-2の時)
→この時の最大値は、5 (a=0の時)
0≦a≦2の時の最小値は、5-4a (t=2の時)
→この時の最大値は、5 (a=0の時)
2≧aの時の最小値は、1-a^2 (t=aの時)
→この時の最大値は、-3(a=2の時)

よって、(2)の答えはm(a)=5 (a=0)となる。
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この回答へのお礼

回答していただきありがとうございます

お礼日時:2003/10/21 16:56

高校生の問題ならばx>0は間違いないでしょう。


だって2を何乗したら-1になりますか?
なんてわけわかりませんものね。
さらに高校流の定義だとx=1でもトラブルが起きますので、
x≠1も仮定しておきます。
厳密には対数の多価性も問題になってきますし。

もう少し議論を簡単にするためにy=log2xとおきます。
x>0とすればyはちょうど全実数を動きます。
そうするとlogx2=1/yであることから
t=y+1/yの動く範囲を求めなさい、ということです。
これはグラフを描けばわかりますし、
例えばy>0の時は相加相乗平均からt≧2、
y<0の時はz=-yなんかとしてみてやはりt≦-2
を得ることからもわかります。

あとは親切な方がもしかすると教えてくださるかも
知れませんが、(2)は範囲つきの二次関数の最小問題です。
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この回答へのお礼

回答していただきありがとうございます

>y<0の時はz=-yなんかとしてみてやはりt≦-2
を得ることからもわかります。
ここまでは考えが浮かびませんでした

お礼日時:2003/10/21 16:51

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数学I 二次関数です。

次の2次関数のグラフは、関数y=2x^2のグラフをどのように平行移動したものか。

⑴ y=2(x-2)^2
⑵ y=2(x+5)^2
⑶ y=2(x+1)^2-2

答え ⑴x軸方向に 2
⑵x軸方向に -5
⑶x軸方向に-1、y軸方向に-2

よろしくお願いします…(._.)

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論より証拠、百聞は一見に如かず、です。

これが「事実」「現実」であって、理由もへったくれもありません。各々がどういう関係にあるか、
 x = -10 ~ 10
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Qe^2x+x-1=0、2x^2+x-2+2logx=0の解き方

現在高校3年の者です。唐突な質問ですみませんが、e^2x+x-1=0とか2x^2+x-2+2logx=0といったような方程式はどうやって解けばよいのでしょうか。どなたか解説お願いします。。。。

Aベストアンサー

e^2x+x-1=0は、たまたまx=0が解ですが、質問者さんは、おそらく「x^nと、e^xとかlogxとかが混じった変な方程式はどう解くのか。」を聞いているのでしょう。

であれば、一般的に適用できる解法、解の公式(xを四則演算や累乗根などを使ってきれいに表示できるもの)といったものはありません。

コンピューターなどを使って数値的に解いて、例えばx=2.9481709153976498・・・といった感じの解を見つけるしかないです。(もちろん、e^2x+x-1=0のようにたまたまうまく解ける[というか、きれいな解を発見できる]ものもありますが。)

Q二次関数のグラフの問題です

2次関数の問題で
y=ax2+bx+cのグラフ(上に凸の形でxがマイナスのところとプラスのところで2ヶ所交わっている)のときに、a,b,cの符号を調べよ。
というもので、上に凸ということより、a<0 は分かるんですが、
b,cの符号を求め方がよく分かりません。
グラフの図が与えられているので、それを見て答えればいいだけなんでしょうか?
式から求めることはできないのでしょうか??

表記の仕方など伝わりにくいかもしれませんが、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>上に凸の形でxがマイナスのところとプラスのところで2ヶ所交わっている

この情報でaとcの正負が決定できます。bの正負を決めるには
頂点がxの正の領域か負の領域にあるかを読み取ってください。
(軸が正負のどちらにあるかということ)

>上に凸ということより、a<0 は分かる

合ってます。交点の座標を(α,0),(β,0)とすると (α>0,β<0)
y=a(x-α)(x-β)=ax^2-a(α+β)x+aαβ

aαβは正(負×負×正)ですからcは正です。

bの正負は#1さんの回答を参考に考えてください。

>グラフの図が与えられているので、それを見て答えればいいだけなんでしょうか?

まさしくグラフと式の係数を理解するための問題だと思います。
グラフと関数の関係をよく理解しておくと今後の理解が楽になりますよ。

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む

Q二次関数グラフの平行移動

数学から遠ざかり早10年ですが
参考書片手に勉強している者です。
試験の問題だったため答えは分かりませんが
手法のほど導いてくれませんか?
---------------------------------------------
2次関数 y=2(x-1)(x+p) (ただしp>0) について

このグラフが y=2x~2のグラフをy軸方向については
-8だけ平行移動したものであるとき、
pの値を求め、またx軸方向についてはどれだけ
平行移動したものかを答えなさい。
---------------------------------------------
今私が分かるのは下の3つの公式です。
y=ax~2+bx+c  …通る3点が分かる場合
y=a(x-α)(x-β) …x軸との交点が(α,0)(β,0)
y=a(x-p)~2+q …頂点が(p,q)、軸がx=p

答えについては
グラフの形と頂点(x,-8)という想像ができます。
どうぞ宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

平行移動を考えるときある一点に注目し、それがどのように動いたか考えます。大抵の場合頂点で考えると分かりやすいので、y=a(x-p)~2+q で考えていきます。
まず与式を上式のように変形します。
y=2(x-1)(x+p)
=2{x^2-(1-p)x-p}
=2{x^2-(1-p)x}-2p
=2{x-(1-p)/2}^2-(p^2+2p+1)/2
これはy=x^2のグラフを平行移動したものであり、問題文からy軸の正の向きに-8の平行移動であるから
-8=-(p^2+2p+1)/2
16=p^2+2p+1
0=p^2+2p-15
0=(p-3)(p+5)
p=3,-5
ただし条件p>0よりp=3
これを変形した式に代入し
(1-p)/2
=(1-3)/2
=-1
よりx軸の正の向きに-1平行移動したことがわかります。

このように平行移動の問題を考える時には一般系の式(y=ax^2+bx+c)ではなく平方完成した式(y=a(x-p)^2+q)を考えると上手く行くことが多いと思います。

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf

Q二次関数のグラフ・・・

二次関数y=ⅹ^2-10ⅹ+21のグラフは、二次関数y=ⅹ^2のグラフを、ⅹ軸方向に「」、y方向に「」だけ平行移動したものである。


問題の意味がわかりません・・
答えはどうやって導くのでしょうか?

おねがいします。

Aベストアンサー

y=x^2-10x+21 のグラフは
y=(x-5)^2-4 と変形し
 頂点(5,-4) とわかります

y=x^2 のグラフは
 頂点(0,0) です

Qf(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24

f(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24
g(x)=x^5+x^4+(1/2)x^3+(1/6)x^2+(1/24)x+1/120
(1)すべのxについてf(x)>0を示せ。
(2)g(x)=0はただ1つの実数解αをもち、-1<α<0を示せ。
これで、(1)は分かりましたが、(2)については、(1)を利用するのだろう
と思うのですか、その利用の仕方がわかりません。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

>、(1)は分かりましたが、(2)については、(1)を利用するのだろう
>と思うのですか、その利用の仕方がわかりません。

g(x)=xf(x)+1/120 とおけるので、

(1)の結果
【1】f'(x)は単調増加
【2】f(x)はただ一つの極小値f(p)をもつ。
【3】すべてのxについて f(x)>0
を利用して、

g'(x)=f(x)+xf'(x) より
f(x)=g'(x)-xf'(x)>0 (【3】より)
これから、
g'(x)>xf'(x)>xf'(p)>-f'(p)
∴g'(x)>0
g(x)は単調増加。
g(0)=1/120>0,  g(-1)=-11/6<0
したがって、
∃α (-1<α<0) [ g(α)=0 ]

こんな風に利用できないですか。

Q二次関数のグラフ

二次関数のグラフが上手に書けません。どうしてもガタガタになります。
何かコツのようなものはありますか?

Aベストアンサー

放物線をグラフ用紙にかき込む場合と推測しますが、
例えばy=x^2なら整数だけだと点の数が少ないし
間隔もあいています。
そこで、座標が小数である(0.5、0.25)(1.5、2.25)
(2.5、6.25)もとって結んでみてはどうでしょうか?
そして、曲線を引くときはためらわず、力を抜いて一気に
かくといいです。(全体として大きなUの文字を書く
ような感じで)

QF(t)=(1+t)^2/(1-t^2t^3)=Σ(n=0~∞)(a_

F(t)=(1+t)^2/(1-t^2t^3)=Σ(n=0~∞)(a_n)t^nで(a_n)を定義する。
(a_n)の規則性を調べよ。
また,下記の表を作って,(a_n)/(a_(n+1))と「F(t)の分母=0」との関係を調べてみよ。

n  (a_n)  (a_(n+1)/a_n)
・   ・      ・
・   ・      ・
・   ・      ・
・   ・      ・

難しくて分からないので詳細に教えてもらえたらと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

t^2t^3=t^5ならば
F(t)=(1+t)^2/(1-t^5)
=(1+2t+t^2)Σ_{k=0~∞}t^{5k}
=Σ_{k=0~∞}(t^{5k}+2(t^{5k+1})+t^{5k+2})
=Σ_{n=0~∞}(a_n)t^n
a_{5k}=1
a_{5k+1}=2
a_{5k+2}=1
a_{5k+3}=0
a_{5k+4}=0
n (a_n) (a_(n+1)/a_n)
5k , 1 , 2
5k+1 , 2 , 1
5k+2 , 1 , 0
5k+3 , 0 , 不定
5k+4 , 0 , ∞


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