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下記の数式について、左辺から右辺を導きたいのですがわかりません。ちなみに『m』はベクトル、『△』はラプラシアン、『×』は外積を表しています。

-m×(m×△m)=△m+(l∇ml^2)m

右辺第二項の『∇m』はダイアディックで、『l∇ml』は絶対値記号(?)のなかに『∇m』が入っているものと思われます。
ベクトル三重積の公式を使えば、右辺第一項は導けるのですが、第二項については見当もつきません。詳しく教えてください。もし、これがある参考文献、ULR等ございましたら海外サイト問わず教えてください。

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A 回答 (2件)

ichiro0000さん、こんにちは。

テンソル解析では二つの添字の値を同じにおいて、その添字について空間の次元全体に渡って和をとる操作がしばしば出てきます。例えばAijとBjkについて
 Ai1B1k + Ai2B2k + Ai3B3k
のようなものです。この操作を縮約と呼びます。ベクトルaとbの内積
 a1b1 + a2b2 + a3b3
は縮約の一番簡単な例です。2階のテンソルaibjが縮約するとスカラーになることからも分かるように一般に縮約するとテンソルの階数は下がります。縮約を表わすため一つの項の中に同じ添字があるときは和の記号がなくてもこの添字について和をとることにするのです(アインシュタインの規約)。例えば

εikjεmnj = εik1εmn1 + εik2εmn2 +εik3εmn3
 
aibi = a1b1 + a2b2 + a3b3

です。つまりMnMn=1は|M|^2=1と同じです。
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この回答へのお礼

テンソルについて詳しく教えていただきありがとうございました。テンソルは文字が羅列されているだけという感じで、とっつきにくかったのですがgrothendieckさんの説明が非常に分かりやすかったのでテンソルに一歩近づけたような気がします。
今後ともよろしくお願いします。

お礼日時:2003/10/24 19:50

ichiro0000さん、こんにちは。

Mをa倍するとM×(M×△M)はa^3倍になりますが△Mはa倍にしかなりません。したがってご質問の式は|M|^2=1 のような条件がなければ成立しないと思われます。以下ではこれを仮定します。
 εijkを完全反対称テンソルとします。すなわちi,j,kはそれぞれ1から3の値をとり、

 εijk = 1 ((i,j,k)が(1,2,3)の偶置換のとき)
 εijk = -1 ((i,j,k)が(1,2,3)の奇置換のとき)
 εijk = 0 ((i,j,k)の中に同じものがあるとき)
とします。ベクトルの外積は
 (A×B)k = εijkAiBj
と書けます。すると
 [-M×(M×△M)]k = -εijk Mi(M×△M)j
 = -εijk Mi(εjmn Mm△Mn)
 = εikjεmnj MiMm△Mn 
ただし2回現れる添字については1から3まで和をとるものとします。するとδijをクロネッカーのδとするとき
 εikjεmnj = δimδkn - δinδkm
という公式を使うと
 [-M×(M×△M)]k
 = (δimδkn - δinδkm)MiMm△Mn
 = |M|^2 △Mk - MnMk△Mn
となります。∂/∂xiを∂iと書くことにすると
 MnMn = 1
を微分して
 ∂i(MnMn) = 2(∂iMn)Mn = 0
 ∂i∂i(MnMn) = 2(∂i∂iMn)Mn + 2(∂iMn)(∂iMn)
  = 0
だから
 Mn△Mn = -|∇M|^2
よって
 [-M×(M×△M)]k
 = △Mk + |∇M|^2Mk

この回答への補足

すいません。確かに|M|^2=1という条件が抜けていました。ところで、回答文中に

MnMn = 1

とありますが、これはどこからきたものですか?教えて下さい。

補足日時:2003/10/22 17:22
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内積と外積を足し合わせたものであると考えて良いでしょうか?

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よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

ドット積=内積
ダイアド=テンソル積
ということですね?

>例えばベクトルAとBのダイアドとは、ベクトルAとBのテンソル積の対角成分が内積で非対角成分が外積なので、
内積と外積を足し合わせたものであると考えて良いでしょうか?

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Aベストアンサー

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★回答
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・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
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補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
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