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幾何学の問題が解けなくて困っています。
わかりやすく解説していただけると助かります。

Xを位相空間、
~をXにおける同値関係とする。
f:X→Zが商写像で
x~x'⇔f(x)=f(x')
をみたすならば、
商空間X/~ とZは同相になることを示せ。


という問題です。
どなたかよろしくお願いします。

A 回答 (1件)

x∈Xに対してxの同値類を


(x)={x'∈X|x'~x}
とする
(x')=(x)→x'~x→f(x')=f(x)だから
g:X/~→Z,g((x))=f(x)
とgを定義できる
y∈Zに対して
fは全射だから
y=f(x)となるx∈Xがあり
y=g((x))だから
gも全射

x,x'∈X,g((x))=g((x'))とすると
f(x)=g((x))=g((x'))=f(x')→x'~x→(x')=(x)
→gは単射→gは全単射

π:X→X/~,π(x)=(x)
とすると
g○π=f
fは連続だから
V開⊂Zに対して
π^{-1}(g^{-1}(V))=f^{-1}(V)開
だから商位相の定義から
g^{-1}(V)は開⊂X/~となる
→gは連続

Uを開⊂X/~とすると
π^{-1}(U)は開で
fは開写像だから
g(U)=f(π^{-1}(U))は開⊂Z
→g^{-1}は連続
→gは全単射連続開同相写像
→X/~=(同相)=Z
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