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2つの円 x^2+y^2=7…(1) (x-a)^2+(y-b)^2=r^2(r>0)…(2) について、次の問いに答えよ。

(1)(1)と(2)の2つの円が接するためのa、b、rの条件を求めよ。
(2)(1)と(2)の2つの円が異なる2点で交わるためのa、b、rの条件を求めよ。
(3)a=1、b=3、r=5のとき、2つの円の交点の座標を求めよ。

よろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

>3)連立方程式 x^2+y^2=7 (x-1)^2+(y-3)^2=25 を解けば交点の座標が求まります。



そんな事は、言われなくてもわかってるだろう。
問題は、どのように解いた? だよ。

x^2+y^2=7 ‥‥(1)、(x-1)^2+(y-3)^2=25 ‥‥(2)
kを実数とすると、(x-1)^2+(y-3)^2-25+k{x^2+y^2-7}=0は (1)と(2)の交点を通る直線束を表す。
従って、これが(1)と(2)の交点を通る直線(=共通弦)を表すためには、k=-1であると良い。

(注)
共通弦の方程式は (1)-(2) ですぐ求められるが、上に説明したような事が踏み台になっている。
それを忘れないように。

計算すると、共通弦の方程式は x+3y+4=0 ‥‥(3)
後は、(1)と(3)を連立して解けばよい。
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自力解答を補足に書いて、その中の何処が分からないか、分からない箇所を質問して下さい。



解き方
(1) 2円が外接または内接する時、接点が2円の中心を結ぶ直線上にくることを使います。

[(1)と(2)の中心間の距離]=[(1)の半径]+[(2)の半径] … 互いに外接する場合
 √(a^2+b^2)=√7+r
[(1)と(2)の中心間の距離]=[(1)の半径]~[(2)の半径] … 互いに内接・外接の関係にある場合
√(a^2+b^2)=r~√7

(2)2交点で交わる条件
 2円の半径の差<中心間の距離<2円の半径の和
 r~√7<√(a^2+b^2)<r+√7

(3)連立方程式
x^2+y^2=7
(x-1)^2+(y-3)^2=25
を解けば交点の座標が求まります。
(x,y)=(-(4+9√6)/10,(-12+3√6)/10),((-4+9√6)/10,-(12+3√6)/10)
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#1の(1)の回答は 誤答。


この人は、平気で誤答を書き込むから、“本人も”質問者も 注意してください。

どこが誤答かというと、勝手に“外接”として断定して、“内接”を全く考慮してない点。
問題文に、外接とは書いてない。
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No.1 です。



(2)には
a^2+b^2>(r-√7)^2
も必要でした。
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>


x^2+y^2=7…(1)
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2(r>0)…(2)

(1),(2)を引き算してx,yの一次式を導き
y=の式を導き(1)に代入して
xに関する2次式を導いてD=0とすれば(1)求められます。
D>0とすれば(2)が求められます。

しかし絵を描いてよく考えれば

(1)
a^2+b^2=(r+√7)^2
(2)
a^2+b^2<(r+√7)^2
がすぐわかります。

(3)a,b,rのまま交点の座標を出して後で数値を代入しましょう。
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