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こんにちは。行列の問題で分からないものがあります。

B=
|000abb|
|000bab|
|000bba|
|abb000|
|bab000|
|bba000|

の固有値と固有ベクトルを求めよという問題です。(みえにくいですが、6×6行列です)




以下、自分が現時点で分かっていることを書きたいと思います。


この問題の導入としてまず
A=
|abb|
|bab|
|bba|
の固有値と固有ベクトルを求めよ

という問題がありました。こちらは定義にしたがい解くと
固有値a+2b 固有ベクトル(1,1,1)^t
固有値a-b(重解)、固有ベクトル(-1,0,1)^t,(0,-1,1)^tと出ました。


問題となる行列Bについて固有方程式としてT=λE-Bを考え、さらに
U=
|100|
|010|
|001|
と置けば
λE-B=
|λU -A|
|-A λU|
という形になり、ここで
|BA|
|AB|=|B-A||A-B|
となることを利用すれば

|T|=|λE+A||λE-A|と整理されるので、|λEーA|と|λE+A|が0になる場合をそれぞれ考えれば、結局|T|=0の場合を考えていることになるので、前の問題と比較して
固有値±(a+2b),±(a-b)となりました。(これがあっているのかも自信ないです。)


固有値に関しては上手くできたつもりなのですが、固有ベクトルに関してはどのようにやればいいのかが分かりません。それぞれの固有値について6×6行列に入れて行列を計算していく方法しかないのでしょうか。
Bの行列に規則性があるので気がつけば簡単に求めらるのかもしれないのでしょうが、私は思いつきません。


最後まで読んでいただきありがとうございました。回答よろしくお願いいたします。

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A 回答 (4件)

B=


[000abb]
[000bab]
[000bba]
[abb000]
[bab000]
[bba000]

E=
[100000]
[010000]
[001000]
[000100]
[000010]
[000001]

A=
[abb]
[bab]
[bba]

U=
[100]
[010]
[001]

としBの固有値をsとすると

0=
|B-sE|
=
|-sU  A|
| A -sU|
=
|-sU   A|
|A-sU A-sU|
=
|-sU-A   A|
|   0 A-sU|
=
|sU+A||sU-A|

であるから

sはBの固有値⇄
0=|B-sE|⇄
|sU+A|=0 or |sU-A|=0⇄
s=a-b(重解) or s=-(a-b)(重解) or s=a+2b or s=-(a+2b)

------------------------------------------------------------

x,y,z,u,v,wを複素数として

p=
[x]
[y]
[z]
[u]
[v]
[w]

p'=
[w]
[v]
[u]
[z]
[y]
[x]

とすると

p+p'=
[x+w]
[y+v]
[z+u]
[u+z]
[v+y]
[w+x]

p-p'=
[x-w]
[y-v]
[z-u]
[u-z]
[v-y]
[w-x]

(B-sE)p=0 (1)

の式について
6行目を1行目に5行目を2行目に・・・1行目を6行目に
並び替え
各式の左辺の項を逆に並び替えると

(B-sE)p'=0 (2)

(1)+(2)から

(B-sE)(p+p')=0 (3)

(1)-(2)から

(B-sE)(p-p')=0 (4)

((3)+(4))/2は(1)に等しいから

(B-sE)p=0⇄(B-sE)(p+p')=0 and (B-sE)(p-p')=0

一方

q=
[x+w]
[y+v]
[z+u]

r=
[x-w]
[y-v]
[z-u]

C=
[b b a]
[b a b]
[a b b]

とすると

(B-sE)(p+p')=0⇄(C-sU)q=0
(下の3つの式は上の3つの式と同じなので削除し各式の項をまとめた)

(B+sE)(p-p')=0⇄(C+sU)r=0
(同上)

従って

pはBの固有値sに対するBの固有ベクトル⇄
(B-sE)p=0⇄
(B-sE)(p+p')=0 and (B-sE)(p-p')=0⇄
(C-sU)q=0 and (C+sU)r=0 (*)

q'=
[z+u]
[y+v]
[x+w]

r'=
[z-u]
[y-v]
[x-w]

とすると

p=
[ (q+r)/2]
[(q'-r')/2]

であるから(*)を解くことによりpが求まる


もしケアレスミスがあれば補則にその修正を書いてください
できれば(*)を解いて補則に書いてください
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この回答へのお礼

お返事遅れてすみません。
再び、詳しくご説明ありがとうございます。同じ式があるから下半分は無視できるっていうのがポイントですね。
説明をきちんと理解して実際説いたのですが、♯1さんのような固有ベクトルがどうしても出てこなかったです。。すみません。

しかし、解法の原理が分かったので自分としては満足です。何度もご丁寧に回答していただき、ありがとうございました。

お礼日時:2011/07/07 13:33

ケアレスミス修正(or→and)


ついでに少し丁寧に

B=
[000abb]
[000bab]
[000bba]
[abb000]
[bab000]
[bba000]

E=
[100000]
[010000]
[001000]
[000100]
[000010]
[000001]

A=
[abb]
[bab]
[bba]

U=
[100]
[010]
[001]

としBの固有値をsとすると

0=
|B-sE|
=
|-sU  A|
| A -sU|
=
|-sU   A|
|A-sU A-sU|
=
|-sU-A   A|
|   0 A-sU|
=
|sU+A||sU-A|

よって

sはBの固有値⇄
0=|B-sE|⇄
|sU+A|=0 or |sU-A|=0⇄
s=a-b(重解) or s=-(a-b)(重解) or s=a+2b or s=-(a+2b)

x,y,z,u,v,wを複素数として

p=
[x]
[y]
[z]
[u]
[v]
[w]

q=
[x+w]
[y+v]
[z+u]

r=
[x-w]
[y-v]
[z-u]

C=
[b b a]
[b a b]
[a b b]

とすると
(B-sE)p=0の1行目と6行目の加算
(B-sE)p=0の2行目と5行目の加算
(B-sE)p=0の3行目と4行目の加算
をしてできる方程式と
(B-sE)p=0の1行目と6行目の減算
(B-sE)p=0の2行目と5行目の減算
(B-sE)p=0の3行目と4行目の減算
をしてできる方程式を考えて

pはBの固有値sに対するBの固有ベクトル⇄
(B-sE)p=0⇄
(C-sU)q=0 and (C+sU)r=0

q'=
[z+u]
[y+v]
[x+w]

r'=
[z-u]
[y-v]
[x-w]

とすると

p=
[ (q+r)/2]
[(q'-r')/2]

書きにくいのでまだ多分ケアレスミスあり
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この回答へのお礼

わざわざ訂正までしてくださいましてありがとうございます。行列に関しては1と6、2と5、3と4行目の加減算によってうまく整理されるのですね。

しかし、その加減算以降の計算説明がいまいち理解できませんでした。
1行目と6行目を足すとは1行目にも6行目にも互いの行列を足しあうのですか?
書かれた通り解いたつもりなのですが、6×6行列を3×3行列に分解して固有ベクトルを求めるというところにまで行き着きませんでした。
もしよろしければ、特に行列の加減算からの変形について詳しく教えていただけませんでしょうか。よろしくお願いいたします。

お礼日時:2011/07/02 17:32

B=


[000abb]
[000bab]
[000bba]
[abb000]
[bab000]
[bba000]

E=
[100000]
[010000]
[001000]
[000100]
[000010]
[000001]

A=
[abb]
[bab]
[bba]

U=
[100]
[010]
[001]

としBの固有値をsとすると

0=
|B-sE|
=
|-sU  A|
| A -sU|
=
|-sU-A   A|
|   0 A-sU|
=
|sU+A||sU-A|

よって

sはBの固有値⇄
0=|B-sE|⇄
|sU+A|=0 or |sU-A|=0⇄
s=a-b(重解) or s=-(a-b)(重解) or s=a+2b or s=-(a+2b)

x,y,z,u,v,wを複素数として

p=
[x]
[y]
[z]
[u]
[v]
[w]

q=
[x+w]
[y+v]
[z+u]

r=
[x-w]
[y-v]
[z-u]

C=
[b b a]
[b a b]
[a b b]

とすると

pはBの固有値sに対するBの固有ベクトル⇄
(B-sE)p=0⇄
(C-sU)q=0 or (C+sU)r=0

q'=
[z+u]
[y+v]
[x+w]

r'=
[z-u]
[y-v]
[x-w]

とすると

p=
[ (q+r)/2]
[(q'-r')/2]

書きにくいので多分ケアレスミスあり
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2011/07/02 17:27

答えだけで良いなら、参考URLのところで、


Eigenvalues[{{0,0,0,a,b,b}, {0,0,0,b,a,b}, {0,0,0,b,b,a}, {a,b,b,0,0,0}, {b,a,b,0,0,0}, {b,b,a,0,0,0}}]
と入れてください。
固有値はあってます。
固有ベクトルは
v1=(-1,-1,-1,1,1,1)
v2=(-1,0,1,-1,0,1)
v3=(-1,1,0,-1,1,0)
v4=(1,0,-1,-1,0,1)
v5=(1,-1,0,-1,1,0)
v6=(1,1,1,1,1,1)
です。
私なら、地道にやりますね。器用な方法を思いつけるほど頭が良くないんでw

参考URL:http://www.wolframalpha.com/
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この回答へのお礼

このサイトすごいですね!
具体的な値があるものなら数値計算でどうにか結果が出せるんですけど、このようなaとかbとかって時はどうしていいか困ってました。これから活用させていただきます!とりあえず、固有値があっててよかったです。

回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/07/02 17:01

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