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n>0とする。n人の学生から学生証を集め、よくきってそのn人に無作為に返す。この時自分の学生証を手にする学生の人数の期待値を求めたい。確率変数Xを自分の学生証を手にする学生の人数、XiをXi=1・・・i番目の学生が自分の学生証を手にする,Xi=0・・・i番目の学生が他人の学生証を手にする。とする。ただしi=1,・・・,nである。

(1)P(Xi=1)を求め、E[Xi]を計算せよ。
(2)X=X1+X2+・・・+Xnであることを用いて、E[X]を求めよ。


誰か分かる方。お願いします

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A 回答 (3件)

自分の学生証に誰も当たらない場合の数


A(1)=0  A(2)=1 A(3)=2 A(4)=9 A(5)=44

5人で考えて見ましょうか

5人に5枚の学生証を配るのは 5!通り

誰も自分の学生証と一致しない確率
44÷5!    約0.367

1人一致するのは
(5C1×9)÷5!   約0.375

2人一致は
(5C2×2)÷5!   約0.167

3人一致は
(5C3×1)÷5!  約0.0833


全員一致は
1÷5!   約0.0083
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あまり詳しくないですけど少し書いてみます


人数で変ってきませんか?

A(n)=(n-1)(A(n-1) +A(n-2))
漸化式作ってみると
自分の学生証に誰も当たらない場合の数
A(1)=0  A(2)=1 A(3)=2 A(4)=9


A(n)-nA(n-1)=-(A(n-1)-(n-1)A(n-2)

A(n)-nA(n-1)=(-1)^(n-2)×(A(2)-2A(1))=(-1)^(n-2)=(-1)^n

n!で両辺をわると


A(n)/n!-A(n-1)/(n-1)!=(-1)^n/n!


階差数列になってるので

A(n)/n!=0 + Σ(k=2→n)((-1)^k/k!)
!
A(n)=n!/2! -n!/3!+n!/4!-・・・・・・・・・(-1)^n×n!/n! (n≧2)


n人にn枚の学生証を配るのはn!通りなので
一人も自分の学生証に当たらない確率はn!でわって
A(n)/n!

1/2!-1/3!+1/4!-・・・・・・・・(-1)^n×1/n!

一人が自分の学生証と一致するのは

(nC1×A(n-1))/n!=A(n-1)/(n-1)!
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一応確認したいんだけど... どこがわからないんでしょうか?

この回答への補足

全体的に解き方がよくわかりません。。。

補足日時:2011/07/02 08:47
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