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次の問題が分かりません。

【1】白玉1個、赤玉4個、青玉6個で環状の首飾りを作る。
(1)作り方は全部で何通りあるか。
(2)どの二個の赤玉も隣り合わないことにすると、作り方は何通りあるか。

考え方からわからないので、詳しくお願いします。

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A 回答 (4件)

 円順列に対する基本的な考え方と、解法について書きますね。



(A) 円順列を考える最初のポイントは、目印を決めて固定し、条件を満たす場合の数を求めることです。(目印で固定しないと、回転させただけのものも別パターンとして勘定することになるからです。)
(B) 次のポイントは、(A)で求めた場合の数のうち非対称なパターンがいくつあるかを勘定することです。(円順列は裏に返してできるものも同じパターンとして考えるので、非対称のパターン数だけダブっているとして勘定から引きます。通常、非対称のパターン数は数が多くて数えづらいので、対称なパターン数から求めます。)
(C) (A)のパターン数から(B)のパターン数を引いた差が求める場合の数になります。

 設問(1)
 さて問題の解法ですが、ANo.1さんが正しく求めてくれています。
 手順(A) 目印として1個しかない白玉を利用します。すると、残りは赤玉4個、青玉6個の組み合わせとなります。この場合の数をnCrを使って求めます。
 手順(B) 非対称パターン数を直接求めるのは難しいので、対称パターン数を求めます。目印として白玉を使っていますのでこの白玉と、白玉から数えて(白玉を1個目と勘定する)6個目と7個目の間に対称軸をおきます。パターンがこの対称軸について対称になるのは、両側にそれぞれ赤玉2個と青玉3個があるときです。そのときの場合の数もn'Cr'で求めます。この数が対称パターン数です。手順(A)で求めた場合の数に中には非対称パターンが2倍にカウントされていますので、非対称パターン数は(nCr-n'Cr')/2で求められます。
 手順(C) あとは上記の手順通り引き算をしてください。

 設問(2)
 手順(A) 設問(1)と同様に白玉を固定し、残りのパターンにだけ注目します。どの2個も隣り合わないパターンを勘定する際にはいくつかの工夫があって、その一つがANo.2さんの方法です。先に白玉1個と青玉6個を並べておいて、後から赤玉4個を同じ場所にならないように並べる場合の数がいくつかを考えるものです。
      白|青|青|青|青|青|青|   ("|"は赤玉を最大で1個まで入れられる場所(7カ所))
     他に最初から赤玉が隣り合わない状態を作って、後から青玉を入れる場合の数を数える方法もあります。この場合は異なる5カ所の場所に重複を許して青玉を3個入れる場合の数になり、重複組み合わせ5H3(=7C3)を使って求めます。
      白|赤青|赤青|赤青|赤|   ("|"は青玉を何個でも入れられる場所(5カ所))
 手順(B) ここでも先に対称なパターン数を勘定します。対称でどの2個の赤玉も隣り合わない条件を満たすパターンを考えると、少なくとも次のように並んでいる必要があります。
      白 赤 青 赤 青!青 赤 青 赤  ("!"は対称軸)
     あとは青玉2個がどう入れば対称になるか考えて、その場合の数を出してください。
 手順(B)(C)については設問(1)と同様ですので省略します。

 頑張ってください!
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この回答へのお礼

こんなに丁寧に解説してくださっているのに、お礼遅くなってすいません。とても参考になりました。
ありがとうございました^^

お礼日時:2011/07/18 21:47

 ANo.3です。


 用語に書き間違いがありました。
 ANo.3の解法は、質問の問題のような≪数珠順列≫に対する解法で、裏に返して重なるものはその分を省いて勘定します。
 逆に裏に返して重なるものも別物として勘定する場合(テーブルでの席の座り方など)は≪円順列≫になります。その場合は、ANo.3の手順(B)を省いて求めます。

 よろしければ参考にしてください。
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(1)白玉1個を固定すれば赤玉4個・青玉6個を一列に並べる順列に帰着できる。

その組合せは
  (4+6)!/(4!6!)=(10・9・8・7)/(4・3・2・1)=210(通り)
  ところが首飾りを作るので逆方向はひっくり返せば同じになる。よって201/2=105(通り)
(2)○●○●○●○●○●○●○ (●:青玉)
  赤玉は7個の○から4個を選ぶ組合せに等しい。それは(7・6・5・4)/(4・3・2・1)=35(通り)
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この回答へのお礼

ありがとうございます^^

お礼日時:2011/07/18 21:47

(1)の考え方は・・


白玉を1個固定した時求められる円順列の個数は
10!/(4!×6!)=210通り
白玉を中心に左右対称に赤玉2個青玉3個が並ぶ円順列は
右側の赤2個青3個の並び方で決まるので
5!/(2!×3!)=10通り
それ以外の時はじゅず順列は円順列の半分なので(210-10)÷2=100通り
よって100+10=110通り
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この回答へのお礼

お礼遅くなってすいません。
ありがとうございました^^

お礼日時:2011/07/18 21:47

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