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勉強のためVB.NETでビンゴゲームを作成しています。
がいったいどのくらいの確率なのかなときになりました。ので分かる方教えてくれませんか?
なお、これはPGの質問ではなく確率の質問と判断しましたのでこのカテゴリにしました。

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5マス×5マス(25マス)のビンゴカードがあります。

F(フリー)はランダムに3個まででます。(中央がFになるとは限りません)
2回目のボールでビンゴになる確率(ボール数は75個です)はどのくらいなんでしょうか?

※Fが1列に並ぶ可能性もあるとします。

例1
1、2、F、F、F

例2
2、F、3、F、F


Fが3個出る確率は25%(0個、1個、2個、3個)
※さらに細かいですが、Fの場所は乱数で決めていますので、ぶつかる可能性もあります(Fが2個の場合4%の確率で1つになってしまう)

もし並んで必要な番号が出る確率は、1/75*1/74
でいいのですよね?

さらに1列(ななめもビンゴとします)に並ばないといけませんよね?

すごくアホみたいな質問とは認知しています。でも知りたいので、お願いします。

できれば 計算式と意味を簡単に説明して下さるとうれしいです。

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A 回答 (9件)

#5です。


yoppiiさん

fushigichan さんの考え方でいくなら,

> F1,F2が重なるのは1/25
> F2,F3が重なるのは1/25
> F3,F1が重なるのは1/25

これらを単純に足すと,3つとも重なる確率が(1回ではなく)2回余分に足しこまれるので,
重ならない確率は,
 1 - (1/25) - (1/25) - (1/25) + (1/25)*(1/25) + (1/25)*(1/25) = 552/625
としなければならないと思います。

のところ、ご指摘のとおり1回少なく足していましたね!
ご訂正ありがとうございました。

hinebotさんもご検証いただき、ありがとうございます。

kenta_tanakaさん、#5の回答の

>ゆえに、フリーが3つ出ると決まった場合に
重ならずに印字される確率は
1-(1/25)-(1/25)-(1/25)+(1/25)*(1/25)=551/625

のところ
1-(1/25)-(1/25)-(1/25)+(1/25)*(1/25)+(1/25)*(1/25)=552/625
と訂正させてください。

それによって、下の確率を求める式も

(1/4)*(552/625)*(12/230)*(2/75)*(1/74)=552/132968750
=0.0004151

のように訂正させてくださいね。
一応たどり着けたみたいですね・・よかったです。
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この回答へのお礼

皆様 ご回答ありがとうございました。
やはり確率はすごく低いようですね。
何度も回等等投稿していただきありがとうございます。
すいません。お礼が数行でして・・・・。では、

お礼日時:2003/10/28 22:02

再び、#2です。


>4の検証での計算結果は、どこか見落としがあるのだと思います。多分、下手に重複を無視したことが原因でしょう。

#5さんの回答を見直して、見落としが分かりました。
>フリーが2個の場合4%の確率で1個になってしまう
を無視してしまっているんですね。
つまり、
>なので、配置方法は全部で 2625通り
と単純に足し算しちゃいけないということ。

Fが3つ一列に並ぶ確率は
>12C1*5C3/25C3=12*10/2300=12/230 = 6/115
これに、Fが3つとも重ならない確率 552/625 をかけて
(6/115)*(552/625) = 3312/71875 ですね。
#5さんは、もろ#4で私が検証しようとした方法で計算してくれていた訳です。

なお、この値をみると
#1さんの答えは
(1/4)*(720/15625)*{(2/75)*(1/74)}

#5さんの答えは
(1/4)*(3312/71875)*{(2/75)*(1/74)}

で、一見違うように見えますがちゃんと約分すれば
720/15625 = 144/3125(= 0.04608)
3312/71875 = 144/3125(=0.04608)
で同じ値になることが分かります。

これで、私も一致しました。
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#2です。



#5さんへ
#6さんの指摘、
>重ならない確率は,
> 1 - (1/25) - (1/25) - (1/25) + (1/25)*(1/25) + (1/25)*(1/25) = 552/625
>としなければならないと思います。
は私も同感です。

#1(#6)さんと#5さんの計算結果が一致するということで、恐らくそれが正解でしょう。

従って、#4の検証での計算結果は、どこか見落としがあるのだと思います。多分、下手に重複を無視したことが原因でしょう。
できれば、何を見落としたのか納得のいく答えがでるまで、締め切らないでいただけるとありがたいのですが…。
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hinebot さん



> >F 3個の置き方の総数は,
> >25*25*25 = 15625 通り
> としているから、区別する必要があるということでしょうかね。ちょっと検証。

そうです。そこなんです。

fushigichan さん

フリーが3つのとき,重ならない確率は,
 (25/25)*(24/25)*(23/25) = 552/625
だと思います。

fushigichan さんの考え方でいくなら,

> F1,F2が重なるのは1/25
> F2,F3が重なるのは1/25
> F3,F1が重なるのは1/25

これらを単純に足すと,3つとも重なる確率が(1回ではなく)2回余分に足しこまれるので,
重ならない確率は,
 1 - (1/25) - (1/25) - (1/25) + (1/25)*(1/25) + (1/25)*(1/25) = 552/625
としなければならないと思います。

これで計算すると,fushigichan さんの計算結果と私の計算結果は一致します。
# 正しいかどうかは…?
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kenta_tanakaさん、こんにちは。


とても面白そうで、難しそうな問題ですね。

>F(フリー)はランダムに3個まででます。(中央がFになるとは限りません)

フリーというのは、ボールじゃなく、最初からカードに刷ってある
フリースペースのことですよね?
(そこは、ボールが出たものとして扱える)

まず、フリーが3個出る確率は、(1/4)です。

ところが、フリーが3個出た場合でも、重なるときもあるんですよね?
フリーが2個の場合4%の確率で1個になってしまう、というのは
フリーを2個分だすぞ、と機械が思ってても、重なる場所にフリーが印刷されてしまう可能性が4%ということですよね。
4%=1/25の確率で2つが1個になってしまう。これをどう考えたらいいのかが難しいのですが・・

フリーをF1,F2,F3とするとき、
F1,F2が重なるのは1/25
F2,F3が重なるのは1/25
F3,F1が重なるのは1/25
F1,F2,F3が重なるのは上で重複して数えてあるが(1/25)*(1/25)

ゆえに、フリーが3つ出ると決まった場合に
重ならずに印字される確率は
1-(1/25)-(1/25)-(1/25)+(1/25)*(1/25)=551/625

これで、フリーが3つ出ると決まった上に、3つの異なる場所にフリーが位置する確率は

(1/4)*(551/625)となる。


このフリーが異なる場所に3個出た、という事象が起こっている場合に、
5×5=25のスペースのうち、3つがフリーである場所のとり方は、

25C3とおり。

また、そのうち、たて5行、横5行、ナナメ2行の合計12行のうちから
1つの行にビンゴが並ぶので、12C1とおり。

並ぶ行を決めたら、あとは、その5つの並びのうち
どれがフリースペースなのかで5C3とおり。

12C1*5C3/25C3=12*10/2300=12/230

さらに、このときに、残りの2つのスペースには
残りの75個の玉から、2個選んで、その数字が入らないといけないので

(2/75)*(1/74)をかけます。

{12C1*5C3/25C3}*(2/75)*(1/74)=(12/230)*(2/75)*(1/74)

これと、そもそもフリーが異なる場所に3個でる確率をかけたのが求める答えで

(1/4)*(551/625)*(12/230)*(2/75)*(1/74)=551/132968750

となってしまいましたが・・・
これで合っているでしょうか。あほみたいではなく、非常に難し過ぎる問題でした。
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#2です。



>でも良く考えてみると,
>F1 F2 F3 □ □ と
>F2 F1 F3 □ □ とを区別しないとおかしいことに気づいたのです。

はたしてそうでしょうか?
フリーはフリーなので、わざわざF1,F2,F3と区別する必要があるのか?

と思ったのですが、最初に
>F 3個の置き方の総数は,
>25*25*25 = 15625 通り
としているから、区別する必要があるということでしょうかね。ちょっと検証。

F 3個が一列に並ぶ確率は、5P3が正しいとすれば
720/15625 = 144/3125 


一方、5C3の考え方で最初から考え直すと、
F 3個が1箇所にぶつかる場合のFの配置は 25C1 = 25通り
F 3個のうち2個がぶつかる、つまり2箇所に配置される場合は
25C2 = 300通り

F 3個がばらばら(つまり3箇所)に配置される場合は
25C3 = 2300通り
なので、配置方法は全部で 2625通り
よって、Fが一列に並ぶ確率は (12*5C3)/2625 = 120/2625
ということでしょうか。
でも、ハテ?
結果が違いますね…。
(もうちょっと、考えます。)
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#2 の hinebot さんのご指摘に関してです。



> で、列を1つ決めたら、そこにFが一列に並ぶためには5> マスから3マス選ぶことになるので、
> 5C3 = 10通り

私も初め 5C3 かと思いました。

でも良く考えてみると,
F1 F2 F3 □ □ と
F2 F1 F3 □ □ とを区別しないとおかしいことに気づいたのです。
いかがでしょうか?
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#1さんの方針でよいと思いますが、ちょっと間違っているような…。



補足を兼ねて。

>F 3個の置き方の総数は,
>25*25*25 = 15625 通り
Fは重なってもよい(ぶつかる可能性もあるとのことから)ので、25マスどこでもよいので、この式になります。

問題は次です。
>このうち一列に並ぶのは,
>(5+5+2)*5P3 = 720 通り

列は、縦5列、横5列、斜め2列の計12列あります。これが前半の(5+5+2) です。
で、列を1つ決めたら、そこにFが一列に並ぶためには5マスから3マス選ぶことになるので、
5C3 = 10通り
よって、(5+5+2)*5C3 = 120 通り
になると思うのですが。
(順列でなく組み合わせじゃないでしょうか?)

>残り二ますの数字が続けて出る確率は,
>(2/75) * (1/74) = 1/2775

質問者さんは、(1/75)*(1/74)とされましたが、最初は残り2マスのどちらの数字でも良いので、#1さんのおっしゃる通り、2/75になります。

最後にFが3個でる確率ですが、0~3個の中から個数を決めるのであれば、質問者さんのおっしゃる通り、25%(1/4)ですね。
なので、
(1/4)*(120/15625)*(1/2775)= 2/2890625

となりますが、もし、1回ずつFか否かを3回決めるのであれば、(1/2)*(1/2)*(1/2) = 1/8 となるので、

(1/8)*(120/15625)*(1/2775)= 1/2890625

となります。
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まず F が3個の場合にそれらが一列に並ぶ確率を考えます。



F 3個の置き方の総数は,
25*25*25 = 15625 通り

このうち一列に並ぶのは,
(5+5+2)*5P3 = 720 通り

よって求める確率は
720/15625 = 0.04608

F が3つ並んだので,残り二ますの数字が続けて出る確率は,
(2/75) * (1/74) = 1/2775

以上と,F が 3個の確率(0.25)を掛け合わせれば,
0.25 * 0.04608 * (1/2775) = 4.15e-6
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