複素関数のローラン展開

以下の問題がどうしても分かりません。
どなたか分かる方がいらっしゃったら、教えていただけると嬉しいです。

f(z) = (e^z-1)^(-1)　の　0 < |z| < 2π　での、z = 0　のまわりでのローラン展開を求めよ。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/07/04 20:00

f(z) の分母の e^z を z=0 中心にテイラー展開すれば、

f(z) = (1/z)・(z=0で正則な関数) と 1/z が括り出せる
ことが判ります。それって、
z=0 が f(z) の何位の極だということでしょう？
それが解かれば、後は z f(z) をテイラー展開するだけです。
z/(e^z - 1) の高階微分係数は、難しくありませんよね。
ライプニッツの積の微分公式を使って、
分母側は合成関数の微分で考えて…

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/07/04 17:00

先ず、z=0がf(z)の何位の極であるか調べます。

e^0-1=0ですのでz=0が極であるのは間違いない。
lim[z→0]zf(z)　は収束するでしょうか。これが収束すれば、これは1位の極です。
もし、これが収束しない場合にはさらに(z^2)f(z),(z^3)f(z)の収束を調べz=0の位数を調べます。

z=0がn位の極であるとすると次の方法でf(z)のz=0の周りでのローラン展開が得られます。

(z^n)f(z)をz=0の周りでテーラー展開する。得られた式をz^nで割る。