微小振動の条件

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質問者：rocky18
質問日時：2011/07/12 12:38
回答数：1件

大学の物理の実験で単振り子による重力加速度の測定があるのですが，その予習の段階で
微小振動の条件を理解してこい！と言われました。
そこで，単振り子の微小振動の条件を教えていただきたいです。よろしくお願いします。

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回答 (1件)

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No.1ベストアンサー

回答者： Quarks
回答日時：2011/07/12 13:53

まずは、原理のお話しから

弧に沿って x軸を取る。
物体には、張力 T と重力 W との合力 F が働きますが、運動の実際を考慮すると F の向きは弧の接線方向で原点Oの或る方向に向いていることは明らかです。
∴F=－mg・sinθ

運動方程式を立てますと
ｍ（d^2x/dt^2)=－ｍｇ・sinθ
ここで、
ｘ＝Ｌ・θ
の関係を使うと
（d^2x/dt^2)＝Ｌ・d^2θ/dt^2
なので、変数をθだけにすることができます。
ｍL・（d^2θ/dt^2)=－ｍｇ・sinθ
これは複雑な運動ですが、ここで
θ≒0
であれば、近似式
sinθ=θ
を使えて
ｍ(d^2θ/dt^2)=－(ｍｇ/Ｌ)θ
という極めてシンプルな運動方程式になります。

右辺が（定数×位置変数）の形式、つまり"復元力の形式"になっていることから、運動が単振動であることがわかります。
復元力が　－ｋｘになっているとき、周期 T は
T=2π√(m/k)
となることがわかっていますから
本運動を単振動と見なして良いなら、
T=2π√(m/k)
=2π√(m/(mg/L))
=2π√(L/g)
となりますので
LとTを計測して、gを算出することができます。

以上が、実験で重力加速度を求めるための原理です。

行論から、
θ≒0
で、近似式 sinθ=θ
が成り立つことを保証すれば良いことになります。では
θ=sinθ
はθがどのくらいの範囲であればよいか？これを前もって判断しておきなさい、というのが課題なのでしょう。
ただ、θの値を計測することは、けっこう難しくなります。

そこで、別の考え方も必要になるかも知れません。
θ≒0 では
振れ幅 X と糸の長さ L の関係から
sinθ≒X/L
なので振れ幅 X を糸の長さ L に対してどの程度にすべきか、というふうに考えることもできるでしょう。振れ幅は簡単に測定できますから、こちらで評価した方が良いかも知れませんね。

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。m(__)m
実験の見通しをつけることができました。
頑張って実験やってきます。

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お礼日時：2011/07/12 14:22

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はじめまして。
おそらく振り子の問題だと思うのですが、あまりよく理解できません。
簡単な問題かもしれませんが、ご回答お願い致します。

図のように、質量ｍ、長さ12Lの細い一様な棒が、棒の中心からｈの距離にある点Ｈを支点として微小振動した場合の角振動数ω(h)を求めよ。
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Aベストアンサー

>回転の式　I・dω/dt＝-mghsinθ
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Aベストアンサー

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⇔mlθ"=-mgsinθ　　どういう座標系の運動方程式なの？
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Aベストアンサー

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　　y
　　↑
　　・→x
　　　＼
　　　→＼
　　　θ　＼
　　　　　　●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
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√(l/g)√C1 cosψ dψ = √C1 cosψ dt　　(9)
と変形でき、両辺を積分することで
√(l/g) ψ= t+C2　←C2は積分定数　　(10)
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となります。これは本質的に(6)と同じ式です。初期条件「t=0でθ=φ」を代入することで
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もちろん、「軌道に沿ってx軸を定める」でも解けます。この場合の運動方程式は
m(d^2 x/dt^2)= -mg sin(x/l)　　(13)
となります。本質的に(3)と同じであることは申し上げるまでもなく、同様に解くことができます。

考え方は上記でよいはずですが中間で計算ミスがあるかも知れませんので、ONEONEさんご自身でも確認しながら読んで頂けると幸いです。

*1 もし初期条件が「t=0でθ=φまでおもりを持ち上げて手を放す」という意味であれば、「θの最大値はφ(厳密には|φ|)」という条件が新たに加わるので運動は一意に定まります。この場合はφsinα=φからα=π/2、よってθ=φsin{√(g/l) t+(π/2)}=φcos{√(g/l) t}と求めることができます。

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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか？

Sは積分の前につけるものです
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S x dx=1/2x^2
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まではわかったのですが
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は一体どうなるのでしょうか？？

Aベストアンサー

まず、全部　積分定数Ｃが抜けています。また、積分の前につけるものは　“インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます　∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx＝Ｆ(x)の時、
(d/dx)Ｆ(x)＝f(x)です。

また、微分で
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よって、
∫x^(a-1)dx＝(1/a)*x^a＋Ｃ
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∫1/x^2 dx＝∫x^(-2)dx
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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

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いささか、思い違いのようです。

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Q加速度と角加速度の関係について

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Qポテンシャルエネルギーから力を求めるのになぜ偏微分

こんにちは、力学を勉強しております。重力やばねの力が保存力である、ということを学ぶ際に、ポテンシャルエネルギーUを習いました。そして、このポテンシャルエネルギーを位置で微分して力を求める、という次の式が登場しました　（~はベクトル表示のための矢印とお考え下さい）。

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~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)

というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

たと...続きを読む

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まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか？
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

次に、位置エネルギーの定義ですが、位置エネルギーは仕事の符号を変えたものですから、
この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (＊）

ここまでよろしいでしょうか？

次は純粋に数学の問題で、U(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をテーラー展開して1次までとると

U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) = U(x,y,z) + (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

ここで

ΔU = U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) - U(x,y,z)

と定義すれば

ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

が成り立ちます。つまり、1次までの微小変化であれば、

y,zを止めてxだけ変えたときの変化分、
x,zを止めてyだけ変えたときの変化分、
x,yを止めてzだけ変えたときの変化分、

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これが全微分ではなく編微分を使う理由です。

この式は

grad U = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z )
Δr = (Δx, Δｙ， Δz)

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ΔＵ = grad U ・ Δr

と書くことができます。

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　　　＝- F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz )

この二つの式を見比べれば

F = - grad U

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となります。

＞というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

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Q因数分解を行うプログラムについて

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を、整数係数の範囲で因数分解するプログラムを作る

ことになったのですが、

１.任意のa,b,cの値を入れてもらう。

２.二次方程式の解で
　整数係数の範囲で因数分解できるか判別する。

３.なにかを用いて分解する。

４.結果を表示する。
　　(dX + e)(fX + g)のような形で。

とまでは考えられるのですが、
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らちがあかない感じです。
たすきがけを使うにしても、いまいち、よくわかりません。

どなたか、教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

No.3 ですが、計算部分を省略せずに書きます。

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
この式をこれ変形させる必要はありません。

実際に、3x^2 + 14x + 8 を順に計算してみます。
a = 3
b = 14
c = 8
このa, b, cの値を代入するわけだから、

x = (-14 ± √(14^2 - 4×3×8)) / 2×3
x = (-14 ± √100) / 6
ここで、±を２つに分けて、
x = (-14 + 10) / 6, x = (-14 - 10) / 6
x = -4 / 6, x = -24 / 6
x = -2/3, x = -4

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Qフーコーの振り子の原理について。

フーコーの振り子を科学博物館で見て、
実際に説明も書いてあったのですが、
何故、地球が自転していることの証明になっているのか
よく分かりませんでした。

過去の質問にあったので、回答を読んでみましたが、
それでもよくわからないんです。

なぜ振り子が振れつつもどんどん向きが変わっていくのでしょう？
地球って傾いて自転してますよね？
丁寧に教えてもらえませんか？
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

地球の傾きについては無視してもそんなに問題ありません。おおめにみれば傾いていないと思ってください。

慣性ってありますね。動いてるものは、ほかの力が加わらなければそのままの向きで動き続ける。これはもう確認されているとしていいですね。

振り子のおもりも、ふつう同じ向きに行ったりきたりしますね。おもりが静止する位置を０の点とします。おもりを南側に引いて放すと、おもりは０の点を通って北側に振れて、また０の点を通って南へ戻ってきます。（振り子が重力で振動する理屈は省略。）

さて、この振り子がほかの力を受けないで振れ続けると、その向きは変わらないはずですね。いつまでも南北に動く。もし地球が動いていなければ。

でも実際には振り子のゆれる向きがだんだん変わる。（実験なんですから、これは認めてください。）

なにが振り子の向きを変えているのか。目に見えない謎の力が振り子におよんでいるのかな？　どんな力だそれは。

そこでこう推論します：「振り子の向きがだんだん変わるのは地球が自転していることと関係がある」。
すると、回っているのは地球のほうで、振り子は実はずっと同じ向きに動いている。私たちも地球と一緒にまわっているから「止まっている」つもりになっているので、逆に振り子のほうが回るように見えるということか。
これなら「目に見えない謎の力」を探さないですみます。回っている地球の上で同じ向きに振れつづける振り子が、地球に乗っかって見ている我々には「向きを変える」ように見える。

あとは緯度によって振り子の向きの変わり方がちがうことを説明できれば完全な証明になるわけです。
（その点については他の解答が参考になるとおもいます。）