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大学の物理の実験で単振り子による重力加速度の測定があるのですが,その予習の段階で
微小振動の条件を理解してこい!と言われました。
そこで,単振り子の微小振動の条件を教えていただきたいです。よろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

まずは、原理のお話しから



弧に沿って x軸 を取る。
物体には、張力 T と重力 W との合力 F が働きますが、運動の実際を考慮すると F の向きは弧の接線方向で原点Oの或る方向に向いていることは明らかです。
∴F=-mg・sinθ

運動方程式を立てますと
m(d^2x/dt^2)=-mg・sinθ
ここで、
x=L・θ
の関係を使うと
(d^2x/dt^2)=L・d^2θ/dt^2
なので、変数をθだけにすることができます。
mL・(d^2θ/dt^2)=-mg・sinθ
これは複雑な運動ですが、ここで
θ≒0
であれば、近似式
sinθ=θ
を使えて
m(d^2θ/dt^2)=-(mg/L)θ
という極めてシンプルな運動方程式になります。

右辺が(定数×位置変数)の形式、つまり"復元力の形式"になっていることから、運動が単振動であることがわかります。
復元力が -kx になっているとき、周期 T は
T=2π√(m/k)
となることがわかっていますから
本運動を単振動と見なして良いなら、
T=2π√(m/k)
=2π√(m/(mg/L))
=2π√(L/g)
となりますので
LとTを計測して、gを算出することができます。

以上が、実験で重力加速度を求めるための原理です。

行論から、
θ≒0
で、近似式 sinθ=θ
が成り立つことを保証すれば良いことになります。では
θ=sinθ
はθがどのくらいの範囲であればよいか?これを前もって判断しておきなさい、というのが課題なのでしょう。
ただ、θの値を計測することは、けっこう難しくなります。

そこで、別の考え方も必要になるかも知れません。
θ≒0 では
振れ幅 X と糸の長さ L の関係から
sinθ≒X/L
なので振れ幅 X を糸の長さ L に対してどの程度にすべきか、というふうに考えることもできるでしょう。振れ幅は簡単に測定できますから、こちらで評価した方が良いかも知れませんね。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。m(__)m
実験の見通しをつけることができました。
頑張って実験やってきます。

お礼日時:2011/07/12 14:22

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Q微小振動する角振動数

はじめまして。
おそらく振り子の問題だと思うのですが、あまりよく理解できません。
簡単な問題かもしれませんが、ご回答お願い致します。

図のように、質量m、長さ12Lの細い一様な棒が、棒の中心からhの距離にある点Hを支点として微小振動した場合の角振動数ω(h)を求めよ。
ただし、点Hを通る軸周りの慣性モーメントは、
I(h)=12mL^2+mh^2 とする。

図を解説すると、棒を縦に立てて(少し傾いている)、棒の中心から棒に沿って距離h上方を支点Hとしています。

教科書の似た問題を見ると、この問題と関係ないかもしれませんが、
回転の式 I・dω/dt=-mghsinθ

となっていますが、なぜマイナスになるのか分かりません。
微小振動ならsinθ≒0になると思うのですが、この考え方は間違っていますでしょうか?

慣性モーメントと回転の式などの正負の関係があまり理解できないので、この点に関しても、よろしければご回答お願いいたします。

Aベストアンサー

>回転の式 I・dω/dt=-mghsinθ
>となっていますが、なぜマイナスになるのか分かりません。

ω=dθ/dt はθが増える方向が正ですよね? 右辺のトルク
(力のモーメント)はθを増やすまいとする方向だからです。
通常θは反時計回りを正にとります(本当はθは回転方向を
ねじの回る方向としてねじの進む方向へのベクトルとして
扱うのが普通です)。一方トルクも反時計回りに回転させる
作用を正とします(トルクももちろん通常はθと同じ決め方を
したベクトルとして扱います)。今両者は逆向きですよね?
同じ向きだったらどんどん回転が速くなっていって,振動には
なりません。これは,もっと初歩的にはばね振り子の運動方程式
m dv/dt = -kx と形式的に同じ形をしていますよね。

>微小振動ならsinθ≒0になると思うのですが、この考え方は間違っていますでしょうか?

ダメです。それでは運動することになりません。
sinθ=θ-θ^3/3!+・・・という無限級数からθの1次の項まで
とって近似します。すなわち,sinθ≒θと近似します。
そうすることで,ばね振り子と同じ形
m d^2x/dt^2 = -kx ←→ Id^2θ/dt^2 = -mghθ
になって初歩的に解くことができるようになるわけです。

>回転の式 I・dω/dt=-mghsinθ
>となっていますが、なぜマイナスになるのか分かりません。

ω=dθ/dt はθが増える方向が正ですよね? 右辺のトルク
(力のモーメント)はθを増やすまいとする方向だからです。
通常θは反時計回りを正にとります(本当はθは回転方向を
ねじの回る方向としてねじの進む方向へのベクトルとして
扱うのが普通です)。一方トルクも反時計回りに回転させる
作用を正とします(トルクももちろん通常はθと同じ決め方を
したベクトルとして扱います)。今両者は逆向きですよね?
...続きを読む

Q微小振動の周期

長さ1メートルの一様な棒の一端を天井に蝶番で
とりつけてつるす。このときちょうつがいを支点にして
微小振動する時の周期は?という問題があるのですが

公式T=2π√l/g にl=0.5 g=9.8
をいれればいいと思ったのですが答えが合いません。
なぜですか?

Aベストアンサー

#4です.

ご質問が,書かれているとおりだとすると,

T=2π√(2/3(l/g))

ではないですか?

理由は,J=(1/3)ml^2で, (1/2)ml^2ではないからです.
Jは,慣性モーメントです.

これは,単純に重心に質量が集中しているとして
計算した場合と異なります.

トルク(モーメント)は,(1/2)mglsinθ -> sinθをθで近似.
です.

Q単振り子の運動方程式

重力加速度g、質量m、紐の長さl、空気抵抗無視。

単振り子の運動方程式はこうなりますよね。
mlθ"=-mgsinθ
これがよくわからないのです。
どういう座標系についての運動方程式なのですか?

軌道にそってx軸を定めると
θl=x
mx"=-mgsinθ  軌道に沿った運動方程式?
⇔mlθ"=-mgsinθ  どういう座標系の運動方程式なの?
そしてこれの一般解はどういう風になりますか?
初期条件としてt=0でθ=φとします。

Aベストアンサー

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」などとわざわざ断っていないわけです。
極座標系に移行したことで問題の本質はx(t), y(t)の代わりにl(t), θ(t)を求めることに帰着します。大抵の場合はひもは伸び縮みしないと仮定しますのでlについて解く必要はなく、θについてのみ解くことになります。その方程式が
ml(d^2θ/dt^2)= -mg sinθ  (3)
なわけです。

しかしこの方程式は初等関数の範囲では解くことが出来ません。そこで初等物理の範囲ではθが小さい場合に限って問題を考えることにし、
sinθ≒θ  (4)
の近似を行って解きます。このとき(3)は
ml(d^2θ/dt^2) = -mg θ  (5)
となります。これの解き方はいろいろあります。線形微分方程式の理論を知っていれば解は直ちに
θ= C sin{√(g/l) t+α} ←Cは定数  (6)
だと分かります。αはC sinα=φを満たす定数です。
2階の微分方程式ですが初期条件が「t=0でθ=φ」の一つしか与えられていないので、定数が一つ未定のまま残ります(*1)。

愚直に微分方程式を解くのであれば下のようにやります。
l(d^2θ/dt^2)(dθ/dt) = -g θ(dθ/dt)
d/dt {(dθ/dt)^2} = -(g/l) d/dt (θ^2) ←両辺に(dθ/dt)をかけた上で、積の導関数の公式((y^2)'=2y y')を逆に使った
(dθ/dt)^2 = -(g/l) θ^2 +C1 ←C1は積分定数
dθ/dt = √{-(g/l) θ^2 +C1}  (7)
ここでθ=√(l/g)√C1 sinψと変数を変換すると
dθ/dt = √C1√(1-sin^2 ψ)  (8)
を経て
√(l/g)√C1 cosψ dψ = √C1 cosψ dt  (9)
と変形でき、両辺を積分することで
√(l/g) ψ= t+C2 ←C2は積分定数  (10)
を得ます。θの表式に戻すと
θ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g) (t+C2)}  (11)
となります。これは本質的に(6)と同じ式です。初期条件「t=0でθ=φ」を代入することで
φ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g)C2}  (12)
を得ます。これを使うと(11)からC1, C2のいずれかを消去できます。初期条件がもう一つあれば運動は一意に定まります(脚注参照)。

もちろん、「軌道に沿ってx軸を定める」でも解けます。この場合の運動方程式は
m(d^2 x/dt^2)= -mg sin(x/l)  (13)
となります。本質的に(3)と同じであることは申し上げるまでもなく、同様に解くことができます。

考え方は上記でよいはずですが中間で計算ミスがあるかも知れませんので、ONEONEさんご自身でも確認しながら読んで頂けると幸いです。

*1 もし初期条件が「t=0でθ=φまでおもりを持ち上げて手を放す」という意味であれば、「θの最大値はφ(厳密には|φ|)」という条件が新たに加わるので運動は一意に定まります。この場合はφsinα=φからα=π/2、よってθ=φsin{√(g/l) t+(π/2)}=φcos{√(g/l) t}と求めることができます。

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q加速度と角加速度の関係について

速度と角速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の速度がv,とすると
角速度ω=v/r [rad/s]
になると思うのですが,
加速度と角加速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の加速度がa,とすると
角速度α=a/r [rad/s^2]
となるのでしょうか?
ご教示よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

半径rが定数とすれば、その通りです。
加速度、角加速度はそれぞれ速度、角速度の単位時間の変化量(時間微分)ですので、加速度は「a=dv/dt」、角加速度は「α=dω/dt」と表せます。
同時に、角速度の式「ω=v/r」の両辺を時間で微分すれば「dω/dt=(dv/dt)/r」となり、この式はすなわち「α=a/r」となります。
ただし半径rそのものが時間関数r(t)の場合はこの限りではありません。

Q微小振動近似と線形化

平衡点が解析的に求められない運動方程式を近似して線形化したいのですが,
そのときにθを微小としてθ=0まわりで線形化することは理にかなっているのでしょうか?
それとも線形化は平衡点まわりでする場合にしか意味がないのでしょうか?
平衡点ではないθ=0まわりで線形化することの意味をどのように考えればよいのかよくわかりません.
よろしくお願いいたします.

Aベストアンサー

#1さんのおっしゃる通り,線形化は微分可能なら出来ます。
しかし,線形化して微小変分に対する線形微分方程式を作ることで有用な情報が得られるかどうかが,
そのありがたさにかかってきます。

性質の分かった解がある(平衡点,定常解,リミットサイクルなど)。
次に,その周辺での微小な動きを調べる(安定判別など)。

というように,まず「基準となる,よく分かった解」が得られているなら,
その周りでの線形化することに意味があると思います。
しかし,θ=0を通る解の性質が分かっているのでなければ,
θ=0の周辺で線形化しても,θ=0の近くを通る一瞬に適用できるだけなので,さほどありがたくないのかなと思います。

Qポテンシャルエネルギーから力を求めるのになぜ偏微分

こんにちは、力学を勉強しております。重力やばねの力が保存力である、ということを学ぶ際に、ポテンシャルエネルギーUを習いました。そして、このポテンシャルエネルギーを位置で微分して力を求める、という次の式が登場しました (~はベクトル表示のための矢印とお考え下さい)。

~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)

ここで、なぜ偏微分なのでしょうか。

~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)

というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

たとえばバネの ポテンシャルエネルギーはU = (1/2)k x^2なので
これを上式(1)のように微分すれば、F = -kxとなります。重力にしても同様に求まります。
ただ、(2)式を使っても、ばねの力も重力も求まってしまいます。

偏微分を使っているからには、その理由があると思うのですが、私の持っているどの教科書にもその説明がなく、突如として偏微分が示されているだけでして悩んでおります。

どうぞ宜しくお願いします。

こんにちは、力学を勉強しております。重力やばねの力が保存力である、ということを学ぶ際に、ポテンシャルエネルギーUを習いました。そして、このポテンシャルエネルギーを位置で微分して力を求める、という次の式が登場しました (~はベクトル表示のための矢印とお考え下さい)。

~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)

ここで、なぜ偏微分なのでしょうか。

~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)

というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

たと...続きを読む

Aベストアンサー

まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか?
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

次に、位置エネルギーの定義ですが、位置エネルギーは仕事の符号を変えたものですから、
この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (*)

ここまでよろしいでしょうか?

次は純粋に数学の問題で、U(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をテーラー展開して1次までとると

U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) = U(x,y,z) + (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

ここで

ΔU = U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) - U(x,y,z)

と定義すれば

ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

が成り立ちます。つまり、1次までの微小変化であれば、

y,zを止めてxだけ変えたときの変化分、
x,zを止めてyだけ変えたときの変化分、
x,yを止めてzだけ変えたときの変化分、

の合計が全体の変化分に等しいという関係が成り立ちます。
これが全微分ではなく編微分を使う理由です。


この式は

grad U = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z )
Δr = (Δx, Δy, Δz)

というベクトルを導入すれば内積を使って

ΔU = grad U ・ Δr

と書くことができます。

この関数U(x,y,z)を位置エネルギーだとすると、ΔUは微小変位Δr = (Δx, Δy, Δz)に対する位置エネルギーの変化分となりますから、上の(*)の式に等しく

ΔU = grad U ・ Δr=ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz
   =- F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz )

この二つの式を見比べれば

F = - grad U

成分表記では

Fx = -∂U/∂x
Fy = -∂U/∂y
Fz = -∂U/∂z

となります。

>というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

3次元の調和振動子を考えて見ます。その位置エネルギーは

U(x,y,z) = (1/2)k (x^2 + y^2 + z^2)

これを通常の微分をとるとすると、物体は3次元空間の中をある軌道で運動していますから、xの変化と同時にyもzも変化します。つまり、yとzはxの関数と考えられるので

dU/dx = d/dx [ (1/2)k (x^2 + y(x)^2 + z(x) ^2) ]
= k x + k y(x) dy/dx + k z(x) dz/dx

となり、x方向の力kxを導きません。

まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか?
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

次に、位置エネルギーの定義ですが、位置エネルギーは仕事の符号を変えたものですから、
この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (*)

ここまでよろしいでしょうか?

次は純粋に数学の問題で、U(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をテーラー展開して1次までとる...続きを読む

Q因数分解を行うプログラムについて

こんにちは。

今日は教えてほしいことがあってきました。
学校の課題で

a,b,cは整数で、しかもaは0でないものとして、
このとき2次式
   ax^2 + bx + c
を、整数係数の範囲で因数分解するプログラムを作る

ことになったのですが、

1.任意のa,b,cの値を入れてもらう。

2.二次方程式の解で
  整数係数の範囲で因数分解できるか判別する。

3.なにかを用いて分解する。

4.結果を表示する。
  (dX + e)(fX + g)のような形で。

とまでは考えられるのですが、
3.の所が難しくて、考えてからかなり時間がたってしまい
らちがあかない感じです。
たすきがけを使うにしても、いまいち、よくわかりません。

どなたか、教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

No.3 ですが、計算部分を省略せずに書きます。

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
この式をこれ変形させる必要はありません。

実際に、3x^2 + 14x + 8 を順に計算してみます。
a = 3
b = 14
c = 8
このa, b, cの値を代入するわけだから、

x = (-14 ± √(14^2 - 4×3×8)) / 2×3
x = (-14 ± √100) / 6
ここで、±を2つに分けて、
x = (-14 + 10) / 6, x = (-14 - 10) / 6
x = -4 / 6, x = -24 / 6
x = -2/3, x = -4

プログラムとして考えていくと、√(b^2 - 4ac) から考えて、
int q = (b * b - 4 * a * c); // q = 100
int r = sqrt(q); // r = 10
if (r * r != q) { // sqrt の結果が整数でなければ解なし
return 解なし;
}

この後、割り算を計算せずに、分数として別の変数に持ちます。
int n1 = -b + r; // +の分子 (n1 = -4)
int m1 = 2 * a; // 分母 (m1 = 6)

この時点で、(6x + 4) と表示させる事もできますが、なんらかの方法で n1/m1 を約分することで、(3x + 2) と表示させる事は難しくないと思います。

同様に、
int n2 = -b - r; // -の分子 (n2 = -24)
int m2 = 2 * a; // 分母 (m2 = 6)
これも、-24/6 を -4/1 に約分することで (x + 4) と表示できるでしょう。

ここで符号について考えてみると、(3x + 2)(x + 4) の符号を全て反転させて、(-3x - 2)(-x - 4) としたとしても全く同じですが、あえて2つ表示する必要はないのではないかと思います。

No.3 ですが、計算部分を省略せずに書きます。

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
この式をこれ変形させる必要はありません。

実際に、3x^2 + 14x + 8 を順に計算してみます。
a = 3
b = 14
c = 8
このa, b, cの値を代入するわけだから、

x = (-14 ± √(14^2 - 4×3×8)) / 2×3
x = (-14 ± √100) / 6
ここで、±を2つに分けて、
x = (-14 + 10) / 6, x = (-14 - 10) / 6
x = -4 / 6, x = -24 / 6
x = -2/3, x = -4

プログラムとして考えていくと、√(b^2 - 4ac) から考えて、
int q = (b * b - 4 *...続きを読む

Qフーコーの振り子の原理について。

フーコーの振り子を科学博物館で見て、
実際に説明も書いてあったのですが、
何故、地球が自転していることの証明になっているのか
よく分かりませんでした。

過去の質問にあったので、回答を読んでみましたが、
それでもよくわからないんです。

なぜ振り子が振れつつもどんどん向きが変わっていくのでしょう?
地球って傾いて自転してますよね?
丁寧に教えてもらえませんか?
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

地球の傾きについては無視してもそんなに問題ありません。おおめにみれば傾いていないと思ってください。

慣性ってありますね。動いてるものは、ほかの力が加わらなければそのままの向きで動き続ける。これはもう確認されているとしていいですね。

振り子のおもりも、ふつう同じ向きに行ったりきたりしますね。おもりが静止する位置を0の点とします。おもりを南側に引いて放すと、おもりは0の点を通って北側に振れて、また0の点を通って南へ戻ってきます。(振り子が重力で振動する理屈は省略。)

さて、この振り子がほかの力を受けないで振れ続けると、その向きは変わらないはずですね。いつまでも南北に動く。もし地球が動いていなければ。

でも実際には振り子のゆれる向きがだんだん変わる。(実験なんですから、これは認めてください。)

なにが振り子の向きを変えているのか。目に見えない謎の力が振り子におよんでいるのかな? どんな力だそれは。

そこでこう推論します:「振り子の向きがだんだん変わるのは地球が自転していることと関係がある」。
すると、回っているのは地球のほうで、振り子は実はずっと同じ向きに動いている。私たちも地球と一緒にまわっているから「止まっている」つもりになっているので、逆に振り子のほうが回るように見えるということか。
これなら「目に見えない謎の力」を探さないですみます。回っている地球の上で同じ向きに振れつづける振り子が、地球に乗っかって見ている我々には「向きを変える」ように見える。

あとは緯度によって振り子の向きの変わり方がちがうことを説明できれば完全な証明になるわけです。
(その点については他の解答が参考になるとおもいます。)

地球の傾きについては無視してもそんなに問題ありません。おおめにみれば傾いていないと思ってください。

慣性ってありますね。動いてるものは、ほかの力が加わらなければそのままの向きで動き続ける。これはもう確認されているとしていいですね。

振り子のおもりも、ふつう同じ向きに行ったりきたりしますね。おもりが静止する位置を0の点とします。おもりを南側に引いて放すと、おもりは0の点を通って北側に振れて、また0の点を通って南へ戻ってきます。(振り子が重力で振動する理屈は省略。)

さ...続きを読む


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