z=x+iyに対して√w=u(x,y)+iv(x,y)とおいた時
u(x,y) v(x,y)を具体的にx,yの関数で表示すること


大学のレポートの問題です。まったくわからないのでお助けください!

A 回答 (3件)

siegmund です.


a^b はaのb乗のことですが,
「一応解けました」とあるので,おわかりになったようですね.

平方して4になる数は±2ですが,
これからわかるように平方根関数は2価関数です.
xが正の数の時は√xは2つあるうちの正の方を表すという約束になっていますが,
zが複素数の時は√zは2価のうちどちらを取るかは特に約束されていません.

z=re^(iθ)と書きすと,√zは
w1=(√r)e^(θ/2)
w2=(√r)e^{(θ/2)+π}
ですね.(w1)^2,(w2)^2,どちらもzになるのを確かめて下さい.
で,w1の方を取り上げることにして,zをr一定,θを0から2πまで
動かしてみましょう.
つまり,zは複素平面上で半径rの円を一周する.
zが一周してもw1の方は元に戻りませんね.
半周しかしません.
zが二周するとw1は元に戻ります.
ここら辺の状況を,w1の複素平面を2枚用意してうまく表そうというのが
Riemann面の考え方です.
2枚の複素平面の「継ぎ目」がbrach cutにあたります.

詳しいことやりますと,大学の1~2回分くらいの講義になりますので,
アウトラインだけ書きました.
複素解析でしたらテキストにRiemann面など載っていませんか?
なければ,図書館で複素関数論の本など探してみてください.
karkarl さんが数学専門ではないのでしたら,応用複素関数論とか物理数学
といったタイトルの本の方が読みやすいかも知れません.
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この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました。Riemann面、brach cutについてもわかりやすかったです。

お礼日時:2001/04/28 17:32

複素解析だったら,この問題は基本中の基本です.


まったくわからないというのは,解せません.
授業でやったことで解決がつくはずですが....

レポート問題の答をそのまま書くのは適当と思いません.
折角ですからヒントだけ.

z=re^(iθ)の形にしてみたらどうでしょう.
あるいは,z=(√z)^2 をu,vであらわして,
実部同士,虚部同士を比較すれば良いんじゃ....

いずれにしろ,√zは2価関数です.
branch cutやRiemann面にも注意して下さい.

この回答への補足

今年から習っているのでz=re^(iθ). z=(√z)^2 の^の記号の意味がわからないです。よろしくお願いします。

補足日時:2001/04/28 07:18
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この回答へのお礼

一応解けましたが、branch cutやRiemann面とはどういったものなのでしょうか?

お礼日時:2001/04/28 13:36

あの~、zとwの間の関係はどうなっているのでしょうか?


それがわからないとどうしようもないという気がするのですが。

この回答への補足

√w は√zの誤りです。

補足日時:2001/04/27 15:43
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