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同じ周波数で位相の異なる波が重なったとき、周波数は変化することはありますか?

ご存知の方がいましたら教えていただけないでしょうか?
できれば理由も教えてほしいです。

よろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

>同じ周波数で位相の異なる波が重なったとき、周波数は変化することはありますか?



「線形加算」でしょうから、
  a*cos(ωt) + b*cos(ωt + φ)
  = a*cos(ωt) + b*{cos(ωt)cos(φ) - sin(ωt)sin(φ)}
  = A*cos(ωt) - B*sin(ωt)
などと変形。
 : A = {a+b*cos(φ)}, B = b*sin(φ)。

あとは、おなじみの「余弦波合成」。
  A*cos(ωt) - B*sin(ωt) = √(A^2+B^2)*cos(ωt + θ)
  : θ= arctan(B/A)

…と振幅・位相が変化。周波数は変化せず。
    
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2011/08/07 23:33

同じ周波数で位相、振幅が異なる正弦波をいくら足そうと違う周波数の波は生まれません。


単一の正弦波に合成されます。

φ(t)=Σ[n]An*sin(ωt+δn)
とおくと
d^2φ(t)/dt^2=Σ[n](-ω^2)An*sin(ωt+δn)=-ω^2φ(t)
となり、この微分方程式を解くと
φ(t)=Asin(ωt+δ)
となります。元のφ(t)の式から初期条件を求めA,δを一つの値に定めることが出来ますが、微分方程式の解の一意性定理により、これは元のφ(t)と恒等的に等しいことがいえます。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2011/08/07 23:33

周波数をω、時間をt、片方の波の位相をΦとして、


sin(ωt)+sin(ωt+Φ)
を三角関数の関係式を使って計算してごらん。
周波数は変わらず、位相と振幅が変わることが分かるでしょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2011/08/07 23:34

闇に周波数は存在しません。


あるいは、無限の周波数の可能性があります(無=無限)。
もし、何らかの「特定の波長」の痕跡があれば、ハーフミラー
などを用いた干渉により、闇から無限のエネルギーを取り
出せる事になります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2011/08/07 23:34

直観的に回答します。

答えが合ってるかどうかは自信ありません。

同じ波形で逆位相の場合は打ち消しあって信号がなくなるので、周波数0=周波数が変化することになりますね。
その他の場合は波形は変わりますが周波数は変化ないんじゃないでしょうか。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2011/08/07 23:34

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誠に恐縮ですが

同じ正弦波が 2個あって、ひとつを 90度遅れの位相で 合成したとき、得られる波形は 正弦波でしょうか?
それとも、「ひとこぶらくだ」のように 崩れる?

よろしくどうぞ

Aベストアンサー

位相のずれた正弦波同士の加算は正弦波になります。

角速度ω、位相差δとすると、正弦波2波の合成は数式では
A(t)=sinωt + sin(ωt-δ)
になります。

ここで、
ωt-δ/2=α、δ/2=β と置くと
A(t)= sin(ωt-δ/2 + δ/2)+ sin(ωt-δ/2 -δ/2) = sin(α+β) + sin(α-β)

になります。

三角関数の加法定理から、
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
を代入すると、

sinωt + sin(ωt-δ) = sinαcosβ+cosαsinβ + sinαcosβ-cosαsinβ
= 2sinαcosβ
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計算は省きますが、もうちょっと一般化すると、
「同一周期」で、位相・振幅の異なる正弦波を加算した場合、その結果も正弦波になります。

位相のずれた正弦波同士の加算は正弦波になります。

角速度ω、位相差δとすると、正弦波2波の合成は数式では
A(t)=sinωt + sin(ωt-δ)
になります。

ここで、
ωt-δ/2=α、δ/2=β と置くと
A(t)= sin(ωt-δ/2 + δ/2)+ sin(ωt-δ/2 -δ/2) = sin(α+β) + sin(α-β)

になります。

三角関数の加法定理から、
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
を代入すると、

sinωt + sin(ωt-δ) = sinαcosβ+cosαsinβ + sinαcosβ-cosαsinβ
= 2sinαcosβ
= 2sin(ωt-δ/2)cos(δ/2)

つまり、同一振幅で位相がδずれた正弦...続きを読む

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一番簡単な和音(3和音)の代表的比率(4:5:6)でサイン波を作り、それを合成して合成波を表計算ソフトを使用して描いてみました。

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Aベストアンサー

ソフトに関しては知らないので、合成波についてのみ解答します。

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MATLABによるシミュレーション。
http://www.youtube.com/watch?v=9UM707UUGRQ

赤と青の波が反対方向に進む波で、紫の波が合成波です。

#2の回答に貼られたWikiの「導入」の章にある最初の式を使えばわかりやすいかと(タイプするのが面倒なので位相は無視します)。
y1(x, t) = A1*sin(ωt-kx)
y2(x, t) = A2*sin(ωt+kx)
振幅A1とA2は異なるものとします。
合成波は、
y1 + y2
= A1*sin(ωt-kx) + A2*sin(ωt+kx)
= A1*sin(ωt-kx) + A1*sin(ωt+kx) - A1*sin(ωt+kx) + A2*sin(ωt+kx)
= 2*A1*sin(ωt)cos(kx) + (A2 - A1)sin〈ωt+kx)

第一項は、WikiにあるようにX方向に進まない定常波、それにX方向に進む(A2 - A1)sin(ωt+kx)が重なることになります。つまり、合成波は移動します(上のMATLABの波形のとおり、ぎこちない動きにはなりますが)

注)便宜的に移動と呼んでいますが、実際には波は「移動」しません。各点の振動により移動しているように見えるだけなんで、そこつっこまないでね。

MATLABによるシミュレーション。
http://www.youtube.com/watch?v=9UM707UUGRQ

赤と青の波が反対方向に進む波で、紫の波が合成波です。

#2の回答に貼られたWikiの「導入」の章にある最初の式を使えばわかりやすいかと(タイプするのが面倒なので位相は無視します)。
y1(x, t) = A1*sin(ωt-kx)
y2(x, t) = A2*sin(ωt+kx)
振幅A1とA2は異なるものとします。
合成波は、
y1 + y2
= A1*sin(ωt-kx) + A2*sin(ωt+kx)
= A1*sin(ωt-kx) + A1*sin(ωt+kx) - A1*sin(ωt+kx) + A2*sin(ωt+kx)
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Aベストアンサー

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
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 2.43×1/10000000000000000000となり、
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補足:
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・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
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MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
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(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
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*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

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はじめまして。
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Aベストアンサー

我慢して(苦笑)加法定理とか三角関数の合成なんかを行ってみます.

A sin w(t) - B sin{w(t) + S}
= A sin w(t) - B{sin w(t) cos S + cos w(t) sin S}
= (A - B cos S)sin w(t) - (B sin S)cos w(t)
= √{(A - B cos S)^2 + (B sin S)^2} sin{w(t) + Δ}
= √(A^2 + B^2 - 2 A B cos S) sin{w(t) + Δ}.

ただし,Δは
cos Δ = (A - B cos S)/√(A^2 + B^2 - 2 A B cos S),
sin Δ = -(B sin S)/√(A^2 + B^2 - 2 A B cos S)
を満たすものです.

# よく教科書なんかに載ってる,arctanを使った公式を用いて,
Δ = arctan{-(B sin S)/(A - B cos S)}
とすると,cos Δ < 0のときに痛い目を見ますんで,上のように表しておいたほうが無難でしょう.

慣れると,添付図のようなベクトル図を使って計算できます.

我慢して(苦笑)加法定理とか三角関数の合成なんかを行ってみます.

A sin w(t) - B sin{w(t) + S}
= A sin w(t) - B{sin w(t) cos S + cos w(t) sin S}
= (A - B cos S)sin w(t) - (B sin S)cos w(t)
= √{(A - B cos S)^2 + (B sin S)^2} sin{w(t) + Δ}
= √(A^2 + B^2 - 2 A B cos S) sin{w(t) + Δ}.

ただし,Δは
cos Δ = (A - B cos S)/√(A^2 + B^2 - 2 A B cos S),
sin Δ = -(B sin S)/√(A^2 + B^2 - 2 A B cos S)
を満たすものです.

# よく教科書なんかに載ってる,arctanを使った公式を用いて,
Δ = arc...続きを読む

Q人間の声の周波数

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