学校の線形代数学の授業で出された課題なのですがどうにも分かりません。どなたか分かる方ご教示願います。
a,b,c,X,Y,Zはすべて0でないとします。このとき、三次元のベクトル(a,b,c)×(X,Y,Z)=(0,0,0)ならば、(a,b,c)と(X,Y,Z)が平行であることを証明してください。
お願いします。

A 回答 (2件)

条件(a,b,c)×(X,Y,Z)=(0,0,0)、と外積の定義から


下記の3つの等式(1)(2)(3)が同時に成立します。

bZ-cY=0 ---(1)
aZ-cX=0 ---(2)
aY-bX=0 ---(3)

条件a,b,c,X,Y,Zはすべて0でないより、
上記3式を変形すると、(1')(2')(3')が得られます。

b/Y=c/Z---(1')
a/X=c/Z---(2')
a/X=b/Y---(3')

式(1')で、b/Y=c/Z=k(≠0)とおくと、
b=kY,c=kZ.
式(2')より、
a=kX.

∴(a,b,c)=k(X,Y,Z).
∴(a,b,c)//(X,Y,Z).
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この回答へのお礼

大変分かりやすく教えていただきありがとうございます。最初の3式まではいけたのですが…、なるほど!というかんじです。ありがとうございました。

お礼日時:2003/10/26 17:29

背理法で行くのが良いかと思います。



「2つのベクトルが平行でないならば交点があるはずである」
から証明をはじめていったらいかがでしょうか
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この回答へのお礼

さっそくありがとうございます。
うーん。もう少し詳しく教えていただけませんか?

お礼日時:2003/10/26 15:08

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