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xのほかにa使うようになった所からよく分かんなくなってきました><

例えば、x²-2a+2a-3っていう関数のグラフがあったとして、
グラフの上向き、下向きって言うのはどうやったら分かりますか?

aの値で変わると思うんですけどそれは場合わけするんですか??(汗)

A 回答 (4件)

x²+2ax-2a-3でも同じです。


x²+2ax-2a-3は、一番次数の大きいx²のグラフと同じ傾向のグラフになります。
つまり、下に凸のグラフとなります。



補足:
x²+2ax-2a-3は、(x+a)²-a²-2a-3なる形に変形できます。

変数を持つ項は、(x+a)²だけであり、
(x+a)²≧0

です。

定数の項は、-a²-2a-3ですね。

よってx²+2ax-2a-3は、
x=-aの時、最小値-a²-2a-3となり、
x≠-aでは、x²+2ax-2a-3は>-a²-2a-3となる、
下に凸のグラフになります。
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xは変数、aはある定数として一般的に扱われます。



つまり、xは-∞~+∞の間で定義されるもの(※その間のすべての数値に対して考えなければならないもの)、
aは、ある固定され数値です。


x²-2a+2a-3について、まず定数の部分を考えると、
(定数)=-2a+2a-3

-2a+2a=0 (※aの値が10でも、100でも、127897でも、-12837でも、-2a+2aは必ず0になります)
ですから、
(定数)=-3
となります。

次に、変数のの部分を考えると、
(変数)=x²

となります。
(変数)は、xがどの値であっても
x²≧0
となります。ちなみに、x²=0となるxの値は、x=0のみです。

よって、x²-2a+2a-3は、x=0の時、最小値-3となり、
x≠0のとき、x²>0ですから、x²-2a+2a-3>-3となります。

図形は、下に凸となる形になります。




図形の形は、次数の一番大きい変数に依存します。(←一番、変化が大きいからです)
今回の場合、x²がそれに当たり、x²の図形の傾向が、そのままx²-2a+2a-3の図形の形に反映されます。
逆を言えば、x²より次数の低い変数や、定数aのような値が、図形の根本的な形を変えることはありません。



図形の形を考える手法は、まず一番次数の大きい変数を探し、その変数の図形をまず考えることとなります。

この回答への補足

すみません、書き間違いました。
2a-2aじゃなくて2ax-2aです(汗)

それでも考え方とかは同じですか?

補足日時:2011/07/25 19:48
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上向き、下向きというのはグラフの上が開いているか、したが開いているかということでしょうか。

それはxの二乗の係数を見れば判ります。xの二乗の係数が正ならば下に凸(上が開いている)であり、負ならばその逆です。
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この式、x²-3で、a関係ないですけど・・・



これがxに関する関数f(x)であった場合、x²の項がプラスだったら下に凸、マイナスだったら上に凸です。

この回答への補足

すみません、書き間違えました。
2s-2aじゃなくて2ax-2aです(汗)

補足日時:2011/07/25 19:47
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