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いつもお世話になっております.

最小二乗法に関する質問です.

下記のサイトで最小二乗法についてなんとなくではありますが理解できました.
http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/lms/lms1.html

そこで,質問なのですが,
データが3次元以上の場合にも最小二乗法の考え方を使うことはできるのでしょうか?
3次の場合にならなんとなくイメージが付きますが・・・・

データの次数が4次,5次・・・になった場合にでも最小二乗法を使うことはできるのでしょうか?

数学にお詳しい方,教えて下さい.
ヒントや参考サイトでも構いませんので,宜しくお願い致します.

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A 回答 (3件)

>数学的にはデータから仮定した曲線の最短距離を求めるのがややこしくなり、


この距離の求め方について参考になるサイト等は無いでしょうか?

あえて最短距離をと必要はないと気がつきました。私の思い違いです。HPの様にy方向のdを使えば簡単ですし、後は#2さんの方法で行列式を作り解けばいいと思います、
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データの次数ではなく、近似する関数の次数ですよね?


f(x) = a x^n + b x^(n-1) + ... で近似可能です。
やり方は、参考にされたサイトと同様で、a、b、...で偏微分したものが = 0として連立方程式を解きます。
もちろん関数は多項式だけでなく、exp等色々な関数で近似可能です。
解きますが、解析的に解くのは、せいぜい三次くらいまでで、それ以上は根性が持たないです(少なくとも私は)。
解析的に解くのがつらい場合は数値的に解くのが良いでしょう。
解く手法は種々あり、ガウスの消去法や逆行列を用いた直接解法、ガウス・ザイデル法、SOR法のような反復法等です。
どの手法が良いかは好みですかね、私自身は反復法を好みますけど。
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例えばデータが実際4次やlogでも、仮定する関数をそれを使えば厳密に補完できます。



まあ通常はデータの式はわからないので、高次導関数を使ったりしますがこれはエクセルの散布図→補間曲線の種類が沢山あることからも対応可能とわかります。

数学的にはデータから仮定した曲線の最短距離を求めるのがややこしくなり、手間はかかると思いますが基本全てのデータからの距離を足して、それを最小にする様に仮定関数の係数で偏微分すればいいのでやり方は一時と同時で良いと思います。
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この回答へのお礼

my3027様

回答ありがとうございます.

そうですか,使えるのですね.
実際にプログラムで組みたいのですが,

>数学的にはデータから仮定した曲線の最短距離を求めるのがややこしくなり、
この距離の求め方について参考になるサイト等は無いでしょうか?

回答宜しくお願いします.

お礼日時:2011/07/24 23:29

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