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4点O(0,0,0)、A(1,2,0)、B(2,0,-1)C(0,-2,4)を頂点とする四面体OABCの頂点Oから

底面の△ABCに垂線OHを下ろす。このとき、点Hの座標を求めよ。

の解き方を教えてください

A 回答 (3件)

No1と No2 さんの明快な回答で十分なので口を挟む必要はありません。

しかしこれらの回答への反応がないようですから、もう一つ類解を提示いたします。違うところは平面の方程式を使わないこと(本質では使っている。)と外積を使わないことです。使っているのはベクトルの一次独立と垂直条件と、ちまちま計算することです。(>_<)
H(x,y,z)とおく。↑AC=(-1,-4,4),↑AB=(1,-2,-1),↑BC=(-2,-2,5),↑AH=(x-1,y-2,z),↑OH=(x,y,z)とおける。
↑OH⊥↑ACより-x-4y+4z=0...(1),↑OH⊥↑ABよりx-2y-z=0...(2),↑OH⊥↑BCより-2x-2y+5z=0...(3) (1)+(2)よりz=2y(3)に代入してx=yだからH(x,y,z)はyを媒介変数として
・x=4y  ・y=y  ・z=2y →☆とかける。
底面ABCの張る平面上にHがありしかも↑ACと↑ABは一次独立だから↑AH=α↑AC+β↑ABを満たす実定数α,βが存在する。これを成分表示して、各成分を比較すれば,
x-1=-α+β...(4),y-2=-4α-2β...(5),z=4α-β...(6)
がなりたつ。
(5)+(6)よりy+z-2=-3βと(4)*4+(6)を計算してまとめた4x+z-4=3βの両辺を加えた4x+y+2z=6に☆を代入すればy=2/7と求まるから,☆に代入してx=8/7,z=4/7としてHの座標が求まる。
結局3人とも発想は同じですね。
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↑A=(1,2,0),↑B=(2,0,-1),↑C=(0,-2,4)


↑AB=↑B-↑A=(1,-2,-1),↑AC=↑C-↑A=(-1,-4,4)
↑OH=k(↑AB)×(↑AC)=-3k(4,1,2)
平面ABC:↑A+s(↑AB)+t(↑AC)=(1+s-t,2-2s-4t,-s+4t)
垂線の足H(x,y,z)が平面ABC上にあることから
x=-12k=1+s-t
y=-3k=2-2s-4t
z=-6k=-s+4t
この連立方程式を解いて
 s=8/21,t=5/21,k=-2/21
 ∴H(x,y,z)=(8/7,2/7,4/7)
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点Hは平面ABC上にあるので


↑OH=l↑OA+m↑OB+n↑OC(l+m+n=1)と表せるので
l=1-m-n
↑OH=(1-m-n)↑OA+m↑OB+n↑OC
これに座標を代入すると座標がm,nで表せます---(1)

↑OH⊥↑AB,↑OH⊥↑ACから
↑OH・↑AB=0,↑OH・↑AC=0なので(1)ででてきた↑OHの座標と↑ABと↑ACの座標からm,nの方程式が出ます
これでm,nが出ます
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