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大学物理の問題です。

「質量m質点が、ばね定数mω’^2のばねにるながれている。t=0でばねは自然長の位置で静止していたものとする。t=0にFcos(ωt)の外力を加えた。ただしωとω’はわずかに異なるものとする。ことのき、xのt依存性を求めよ。」

この問題の解答解説をよろしくおねがいします。

できれば、ωとω’が等しい場合とどのように違うのかも示していただければ幸いです。

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A 回答 (2件)

まず簡単化のためバネ定数を k とします。

xのt依存性を求めるということはxをtで表してやればいい。運動方程式はma=-kx+Fcos(wt)となります。バネ力kxは常に運動の向きとは逆の向きになるのでマイナスがつきます。aは任意の位置xの2階微分。運動方程式を変形して、a+(k/m)x=Fcos(wt)となります。固有振動数をWnとすると、Wn^2=k/mはWn=√(mw'^2/m)すなわちWn=w'です。よって運動方程式はa+(w'^2)x=Fcos(wt)・・・(1)となる。a=d^2x/dt^2とすればxはtで表されたことになります。ちなみに、これは微分方程式で、x=e^Atとおくと、運動方程式は(A^2)e^At+(w'^2)e^At=Fcos(wt)となります。この先は境界条件または初期条件により特殊解または特異解が得られることになります。

当然ですがwとw'が等しい場合にはw=w'として(1)に代入計算すると(d^2x/dt^2)+(w^2)x=Fcos(wt)です。この方程式が示すことを言葉で言うと、2つの力の固有振動数が一致しているので、共振を起こすことになる。
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これは過渡解が要求されているので、ラプラス変換で解くのがよいと思います。



入力 I(s) = (Fs)/(s^2+ω^2) (Fcosωt))
伝達関数 F(s)= 1/(m(s^2+ω'^2))

出力 O(s)= F(s)・I(s) = (Fs)/{(s^2+ω^2)m(s^2+ω'^2)}

後は逆変換してみてください。

#減衰が無いので、
#周波数が違う2個の振動でビートが発生するようですね。
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