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次の問題がどうしても解けません。どなたか教えてください!


任意の正の整数n>=2について、n×n行列に関する以下の等式が成り立つことを証明せよ

「行列式の証明問題」の質問画像

A 回答 (2件)

左端の列で余因子展開すればOK



nxn の時の行列式を A_n とすると

A_n = x * A_n-1 + a_n-1 * 1

a_n-1 の余因子が 1 なるのは
a_n-1 に対応する小行列中のxが掃き出しで
消去できるからです。
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行列式をA[n]とするとA[n]=z・A[n-1]+a[n-1]

この回答への補足

出来れば課程もお願いします!

補足日時:2011/07/27 06:18
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Q行列式の因数分解がとけません。

どうしてもわからないので最後の答えだけ(途中計算は答えのページに載ってないので。)を参照にしてやってみたのですが。
|a b c|
|a2 b2 c2|
|a3 b3 c3|
を因数分解せよという問題で、私は1列-2列、2列-3列、3列-1列をして、
abc|0 0 0 |
|a-b b-c c-a |
|a2-b2,b2-c2,c2-a2|



=abc(a-b)(b-c)(c-a)|0 0 0 |
|1 1 1 |
|a+b b+c c+a |


として最後に残った行列式をサラスの法則で解けばできる!と思ってサラスをやってみたんですけど0になってしまいました。どうすればとけますか?ただ因数を作っていけばいい、と思ってやっただけじゃダメなんでしょうか?

Aベストアンサー

答えはabc(a-b)(b-c)(c-a)になると思います。

ちょっと自信なしですが、なにがマズイかというと、おそらく「私は1列-2列、2列-3列、3列-1列をして」を「同時に」行ったことが問題かと思われます。
極端な話、2次正方行列の行列式を求める際に、「1列-2列、2列-1列」を「同時に」行うと、すべての2次正方行列の行列式が0となってしまいます。

|{(a b c),(a^2 b^2 c^2),(a^3 b^3 c^3)}|
=abc*|{(1 1 1),(a b c),(a^2 b^2 c^2)}|
=abc*|{(1 0 0),(a b-a c-a),(a^2 b^2-a^2 c^2-a^2)}|
=abc*|{(b-a c-a),(b^2-a^2 c^2-a^2)}|
=abc(b-a)(c-a)*|{(1 1),(b+a c+a)}|
=abc(b-a)(c-a)*{(c+a)-(b+a)}

こんな感じでどうですか?

Q正則行列の証明問題

問題は「Aがm次正則行列、Dがn次正則行列ならばに二のm×n行列Cに対し次の行列X,Y,Zは正則であることを示せ。またX^-1,Y^-1,Z^-1を求めよ。
X=
|A B|
|0 D|
Y=
|A 0|
|C D|
Z=
|B A|
|D 0|

です。
証明は逆行列を求めて正則行列でないB、Cの逆行列が関与していないことを示すだけでいいですか?
解答がないんで確かめようがなくて困ってます。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

Xについては言ったのでもう繰り返さない

Zについて
Z^-1=
[b a]
[d c]
とすると
[B A][b a]
[D 0][d c]

[I 0]
[0 I]
よって
B・b+A・d=I
D・b=0
B・a+A・c=0
D・a=I
(ただしIはm次のものとn次のものがあるが煩雑なので同じIを使った)

これは猿でも解けます
a=D^-1
b=0
c=-A^-1・B・D^-1
d=A^-1

Q帰納法を用いて行列式を解く

次の等式を証明せよ。
|1+x^2   x    0   ...   0  |
|  x   1+x^2  x         :  |
|  0     x              0  |
|  0              x     0  |
|  :            1+x^2   x  |
|  0   ...    0   x   1+x^2|
(ただし、nは行列式の次数)
※見辛いと思いますが、対角線上は1+x^2で、その周りがxで囲まれています。
=1+x^2+x^4+...+x^(2n)

…となっているんですが、本の答えは「帰納法を用いる」だけしか書いてありません。
帰納法のやり方は分かっているつもりですが、どういう式にしてから帰納法を用いればいいのか分かりません。
まずは自分でやってみたのですが:
第n行を第n-1行に足す
第n-1行を第n-2行に足す
    :
第3行を第2行に足す
第2行を第1行に足す
| 1+x^2     x       0  ...   0  |
|1+x+x^2 1+x+x^2 1+x+x^2     :  |
|   0    1+x+x^2             0  |
|   0            1+x+x^2     0  |
|   :            1+x+x^2 1+x+x^2|
|   0   ...    0 1+x+x^2 1+x+x^2|
…これであわよくばどこかの1+x+x^2を消して上三角行列に出来ると思ってたのですが、
消すと他の行にまた-(1+x+x^2)が入ってしまいます。
どのような考え方で解けばいいのでしょうか?

次の等式を証明せよ。
|1+x^2   x    0   ...   0  |
|  x   1+x^2  x         :  |
|  0     x              0  |
|  0              x     0  |
|  :            1+x^2   x  |
|  0   ...    0   x   1+x^2|
(ただし、nは行列式の次数)
※見辛いと思いますが、対角線上は1+x^2で、その周りがxで囲まれています。
...続きを読む

Aベストアンサー

#1さんへのお礼欄のn=3の場合のサラス展開は、
|1+x^2 x 0|
|x 1+x^2 x|
|0 x 1+x^2|
=(1+x^2)(1+x^2)(1+x^2)-x^2(1+x^2)-x^2(1+x^2)
=(1+x^2){(1+x^2)(1+x^2)-x^2-x^2}
=(1+x^2)(1+x^4)
=1+x^2+x^4+x^6


>それに沿って計算すると、
>k=n-1:
>1+x^2(n-1)
>=1+x^(2n-2)
>=1+ {x^(2n)}/(x^2)
>=1+x^2(n-1)
>ですか?

なにを計算したいのか分かりません。(最初と最後が同じですよ)


T(n)をT(n-1)とT(n-2)の式で表すとは、

与式を1行目で余因子展開すると、
(1+x^2)*
|1+x^2   x    0   ...   0  |
|  x   1+x^2  x         :  |
|  0     x              0  |
|  0              x     0  |
|  :            1+x^2   x  |
|  0   ...    0   x   1+x^2|
-x*
|  x    x     0         0  |
|  0  1+x^2   x         :  |
|  0    x               0  |
|  0              x     0  |
|  :            1+x^2   x  |
|  0   ...    0   x   1+x^2|

第1項の行列式は、T(n-1)と同じです。
第2項の行列式をさらに第1列目で余因子展開すると、T(n-2)が現われてきます。
T(n)=(1+x^2)*T(n-1)-x^2*T(n-2)

#1さんへのお礼欄のn=3の場合のサラス展開は、
|1+x^2 x 0|
|x 1+x^2 x|
|0 x 1+x^2|
=(1+x^2)(1+x^2)(1+x^2)-x^2(1+x^2)-x^2(1+x^2)
=(1+x^2){(1+x^2)(1+x^2)-x^2-x^2}
=(1+x^2)(1+x^4)
=1+x^2+x^4+x^6


>それに沿って計算すると、
>k=n-1:
>1+x^2(n-1)
>=1+x^(2n-2)
>=1+ {x^(2n)}/(x^2)
>=1+x^2(n-1)
>ですか?

なにを計算したいのか分かりません。(最初と最後が同じですよ)


T(n)をT(n-1)とT(n-2)の式で表すとは、

与式を1行目で余因子展開すると、
(1+x^2)...続きを読む

Q行列式の等式の証明

|1+x^2  xy     xz |
| yz   1+y^2    yz | = 1+x^2+y^2+z^2
| zx    zy    1+z^2|

を証明せよ。という問題です。


| 1   x    y      z |
| 0  1+x^2  xy     xz |
| 0  yz   1+y^2    yz | 
| 0   zx    zy    1+z^2|
から導け、と解答には書いてあるのですが、どのように導けばいいのでしょうか?
ご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

|1+x^2  xy     xz |
| yx   1+y^2    yz | = 1+x^2+y^2+z^2
| zx    zy    1+z^2|
の間違いでしょうか?


| 1   x    y      z |
| 0  1+x^2  xy     xz |
| 0  yx   1+y^2    yz | 
| 0   zx    zy    1+z^2|

| 1   x   y   z|
| -x   1   0   0|
| -y   0   1   0|
| -z   0   0   1|

|1+x^2+y^2+z^2   0   0   0|
|    -x   1   0   0|
|    -y   0   1   0| 
|    -z   0   0   1|
=1+x^2+y^2+z^2

Q一様連続でないの厳密な証明は?

微分積分の期末テストで次の問題が出ました。

次の命題の正誤を答えよ。ただし理由も与えること。

命題:関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続である。

この問題で自分は次のように解答しました。

(証)αを与えられた区間内の任意の要素とし、εを任意の整数とする。

あるδとしてmin.(ε/2|α|+1,1)とする。

このとき|x-α|<δ⇒|f(x)-f(α)|=|x^2-α^2|=|xーα|・|x+

α|<・・・・・(略)<δ(2|α|+1)<ε

となり、故にf(x)=x^2は区間[0,∞)で一様連続でない。(なぜなら、δがε

だけでなくαにも依存するから)

この解答で一応マルはもらえたのですが、はじめにδを上のようにしたものだけを考

えていい理由は何なんですかね?もしかしたらεだけでδを表せるかもしれないの

に。考えてはみてるんですがなかなか納得のいく答えが見つかりません。よかった

ら力になってください。よろいくお願いします。

Aベストアンサー

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の問題(ε-δの応用問題は大体そうです)
を考える時は命題を論理式で書いておくと証明すべきことが見やすくなります。
まず「関数f(x)が区間[a,b)で連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∀α∈[a,b) ∃δ>0  ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)
でしたね。つまりこの場合δはεとαの両方に依存しても構わない。
一方「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∃δ>0 ∀α∈[a,b) ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)……(1)
となります。変数δとαに関する記述の位置が入れ替わっていることに注意して下さい。
この場合δはεだけに依存します。
そして「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続でない」という命題はこれの否定命題ですから
∃ε>0 ∀δ>0 ∃α∈[a,b) ∃x(|x - α| < δ かつ |f(x) - f(α)| ≧ ε)……(2)
となります。(論理式の変形規則についてはご存知でしょうね)

つまり「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことを証明するためには,具体的なεと任意のδをとってきてそのε,δの組に
対して(2)式の括弧内の条件を満たすようなα,xがとれることを示せば良いのです。
これを示しましょう。

ε=1/2とし,任意のδを1つ固定し, α≧ 1/(2δ) とします。
x= α+(δ/2) とするとxは(1)式の前提条件
|x - α| < δ を満たします。しかし
|f(x) - f(α)|= |x^2 - α^2| = | (α+(δ/2))^2 - α^2 |= | αδ + δ^2/4 |≧ 1/2 =ε
ですから一様連続でないことがいえました。          ■

証明が間違っているにも関わらず先生が○をくれた理由は推測するしかありませんが
(1)一応「一様連続でない」という結論はあっているので、
証明も正しいものと勘違いした
(2)実は先生もわかってない(まさかね^^;)
(3)一応「一様連続でない」という結論はあっていることと
証明を読んで(間違いではあるものの)一様連続性についても
一応は理解しているものと判断して○にした。

というところが考えられますが本当のところ先生に聞いてみた方が良いでしょうね。

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の...続きを読む

Q微分可能なのに導関数が不連続?

一般にm回微分可能でも(d^m/dx^m)f(x)は連続ではないそうですが(本で読みました。)
f(x)が微分可能で、導関数f'(x)が連続でないような関数f(x)の例を教えてください。

傾きが不連続(導関数f'(x)が不連続)なのに滑らか(微分可能)ってのがどうもイメージできないので。

Aベストアンサー

oodaiko先生とだぶってしまったので補足します。
(私が書き始めたときは回答者数0だったもので・・・)

f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) がx=0で連続でないことを示します。
すなわち、
lim(x→0) f '(x) が存在しないことを示します。
「lim(x→0) f '(x) が存在するならば
0に収束する任意の数列An,Bnについて
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) f '(Bn)
が成り立つ。」
という定理があったことを思い出してください。
An=1/(2nπ)、Bn=1/(2nπ+π/2) としますと
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) {1/(nπ) sin(2nπ)-cos(2nπ)}
 =lim(n→∞) (-1)=-1
lim(n→∞) f '(Bn)
 =lim(n→∞) {2/(2nπ+π/2) sin(2nπ+π/2)-cos(2nπ+π/2)}
 =lim(n→∞) (2/(2nπ+π/2))=0
よって、lim(n→∞) f '(An)≠lim(n→∞) f '(Bn)
「 」の定理の対偶を考えると、
lim(x→0) f '(x) が存在しない
ことが分かりますね。

ところでoodaiko先生に質問したいのですが。

>lim_{x→0} ( 2x sin (1/x) - cos (1/x))
>= lim_{x→0} 2x sin (1/x) - lim_{x→0} cos (1/x)

の部分です。
lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
が成り立つのは
lim f(x)、lim g(x)がそれぞれ存在するとき
ですよね。でもlim_{x→0} cos (1/x) は存在しない・・・
実は私が読んでいた本でもoodaiko先生のように証明しているんです。
何か特殊な事情でもあって、この場合は例外的に
lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
が成り立っているのでしょうか。

oodaiko先生とだぶってしまったので補足します。
(私が書き始めたときは回答者数0だったもので・・・)

f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) がx=0で連続でないことを示します。
すなわち、
lim(x→0) f '(x) が存在しないことを示します。
「lim(x→0) f '(x) が存在するならば
0に収束する任意の数列An,Bnについて
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) f '(Bn)
が成り立つ。」
という定理があったことを思い出してください。
An=1/(2nπ)、Bn=1/(2nπ+π/2) としますと
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) {1/(nπ) sin(2nπ)-...続きを読む

Q行列式の因数分解

|a b c|
|c a b|
|b c a|


行列式を因数分解するそうなのですが、
どうしてもこの問題を因数分解することが出来ません。
もしよかったら途中式つきで因数分解していただけないでしょうか
お手数ですが、よろしくお願いいたいます。

Aベストアンサー

もう遅いかもしれませんが。
一番普通に考えるのは、1行目と2行目を3行目に足すことではないでしょうか。
そうすれば3行目は
(a+b+c,a+b+c,a+b+c)
となり、a+b+cをくくり出せます。残った
|a b c|
|c a b|
|1 1 1|
を普通に計算すればよかろうと思われます。

Qy=x^(1/x) の 微分

y=x^(1/x) の微分を教えてください。
簡単な問題なのにすいません。

Aベストアンサー

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

となります。
なので{ (1/x)log|x| }'の計算をすればy'が求まります。
積の微分で解いてください。

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log...続きを読む

Qジアンミン銀(I)イオンの反応

塩化銀にアンモニア水を加えるとジアンミン銀(I)イオンと塩化物イオンが生じます。その後に白色沈殿が出来るまで硝酸を加えます。
そのときの反応式はどういったものになるんですか?
詳しく教えてください。

Aベストアンサー

AgClは白色の沈殿で難溶塩の一つです。これに過剰のNH3を加えると、
AgCl + 2NH3 → [Ag(NH3)2]^+ + Cl^- の錯体生成反応が進んで
沈殿は溶解します。ここに強酸であるHNO3を加えていくと塩基である
NH3と中和が進むため、錯イオンが壊れてAg^+は再びCl^-と
結びついてAgClの白色沈殿を作ります。
[Ag(NH3)2]^+ + Cl^- + 2HNO3 → AgCl↓+ 2NH4^+ + 2NO3^-

Q行列式の因数分解

こんばんは。

行列式の因数分解ですが、とけません。
例えば、
1 a^2 a^3
1 b^2 b^3
1 c^2 c^3
とか左側が全部1になっているような奴は解けるのですが、
問題は、
a bc a^2
b ca b^2
c ab c^2

(b+c)^2 ab ca
ab (c+a)^2 bc
ca bc (a+b)^2
のように複雑なやつです。
なにか方針とか説き方のコツとかありますでしょうか?
ぜひ教えていただきたいです。

Aベストアンサー

ぱっと見で対称性がありそうですので、対称式か交代式かどちらかでしょう。

で、例えば、
1 a^2 a^3
1 b^2 b^3
1 c^2 c^3
とか
a bc a^2
b ca b^2
c ab c^2
だったら、a=bとかb=cとかc=aとかにしてみると0になるっていうのが一目でわかるので、因数 (a-b)(b-c)(c-a)を持つっていうのがわかります。そうしたら、(a-b)(b-c)(c-a)を出すように基本変形しましょう。

(b+c)^2 ab ca
ab (c+a)^2 bc
ca bc (a+b)^2
は、交代式ではなさそうなので対称式だと思って因数の候補を探しましょう。a=0とかb=cとかc=0とかしてみると、0になるので、abcを因数に持ちそうです。というわけで、abcを出すように基本変形しましょう。


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