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とある画像処理に関する論文を読んでいて次のような記述があったのですが分からない点があったのでどなたか教えてください。(簡単にまとめてあります。)

「ノイズのある画像を複数回撮影し、その平均値をとることでノイズ成分を小さくすることができる。ノイズ成分が正規分布の場合、標準偏差σと測定回数n回の平均値の標準偏差σ1は以下で記述される。
σ1=σ/√n


この記述に関して、
1.ノイズ成分が正規分布の場合しか、上記式は適用できないのでしょうか。ランダムノイズの場合でも平均化できるような気がするのですが・・・。
2.またなぜ、測定回数の平方根に反比例するのでしょうか。
3.上記式では測定回数nを多くすれば平均値の標準偏差σ1は0に近づきますが、この数値はいくつくらいならいいのでしょうか。0に近いほど母集団の平均値を推定できているということまでは分かったのですが、どのくらいの数だったらいいという閾値や評価基準みたいなものはあるのでしょうか。

以上、どなたかご回答お願いします。

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A 回答 (1件)

1. どういう意味で,ランダムと言っているのか,不明ですが。



どんな確率分布でも,そこから取り出した標本平均の分布は,中心極限定理によって近似的には正規分布に従います。ですから,本問の場合も,「(測定回数を十分多くして)正規分布と見なせる場合」とするのが,正確な表現だと思われます。逆に言えば,そのように見なせれば,もとはどんな分布でもよい,ということになります。

2.どの段階から説明すればよいか迷いましたが,とりあえず,分散の以下の性質から。

互いに独立な確率変数 X1, X2,....,Xn, 定数ai とすると,

分散について

V(Σai*Xi) = Σai^2 V(Xi)

となります。

分散σ^2の確率変数 X1, X2,....,Xn の平均mX は,

mX = (X1, X2,....,Xn) / n

平均の分散は

V (mX) = V(X1/n + X2/n +....+ Xn/n)
  = 1/n^2 * V(X1) + 1/n^2 * V(X2) + ...... + 1/n^2 * V(Xn)
  = 1/n^2 * σ^2 + 1/n^2 * σ^2 + ...... + 1/n^2 * σ^2
  = 1/n^2 (σ^2 + σ^2 + ...... + σ^2)
  = 1/n^2 * (n * σ^2)
  = σ^2 /n

したがって,標準偏差は,σ1=σ/√n となります。

3.1, 2の説明から,大きさn の標本平均 mX の信頼区間は,

mX ± z(a) * σ/√n

となります。いわゆる通常の信頼区間の求め方です。

信頼区間95%,つまり,有意水準 5% なら,z(0.05) = 1.96 として,この式に当てはめると良いでしょう・
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QK回同期加算すると、雑音が1/Kになる理由

デジタル信号処理の問題やってます。

K回同期加算すると、雑音が1/Kになるようですが、なぜですか?

あと、もう一つお聞きしたいのですが、
SN比って、分散を使うのか、標準偏差を使うのか、どちらなのでしょう?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

S/N比は、エネルギー比で考えることが多いとは思いますが、振幅の比で考えることもありますね。

信号をS(t)、
k回目の測定の雑音をN_k(t)とすると、
K回、同期加算すると、
信号は、K*S(t)、
雑音は、N_1(t)+N_2(t)+…+N_K(t)
になります。

(1) 分散(エネルギー比)で定義したS/N比は、
 信号のエネルギーは、V[K*S(t)] = K^2*V[S(t)]
 雑音のエネルギーは、N_1(t),…,N_K(t)が独立なら ば和の分散は分散の和になるので、
 V[N_1(t)+N_2(t)+…+N_K(t)] = K*V[N(t)]
 で、S/N比は同期加算前のK倍になりますね。
(2)標準偏差(振幅比)で定義したS/N比は、同様にして
 信号が、K*σ[S(t)]
 雑音が、√K*σ[N(t)]
なので、S/N比は√K倍です。

Qエクセル STDEVとSTDEVPの違い

エクセルの統計関数で標準偏差を求める時、STDEVとSTDEVPがあります。両者の違いが良くわかりません。
宜しかったら、恐縮ですが、以下の具体例で、『噛み砕いて』教えて下さい。
(例)
セルA1~A13に1~13の数字を入力、平均値=7、STDEVでは3.89444、STDEVPでは3.741657となります。
また、平均値7と各数字の差を取り、それを2乗し、総和を取る(182)、これをデータの個数13で割る(14)、この平方根を取ると3.741657となります。
では、STDEVとSTDEVPの違いは何なのでしょうか?統計のことは疎く、お手数ですが、サルにもわかるようご教授頂きたく、お願い致します。

Aベストアンサー

データが母集団そのものからとったか、標本データかで違います。また母集団そのものだったとしても(例えばクラス全員というような)、その背景にさらならる母集団(例えば学年全体)を想定して比較するような時もありますので、その場合は標本となります。
で標本データの時はSTDEVを使って、母集団の時はSTDEVPをつかうことになります。
公式の違いは分母がn-1(STDEV)かn(STDEVP)かの違いしかありません。まぁ感覚的に理解するなら、分母がn-1になるということはそれだけ結果が大きくなるわけで、つまりそれだけのりしろを多くもって推測に当たるというようなことになります。
AとBの違いがあるかないかという推測をする時、通常は標本同士の検証になるわけですので、偏差を余裕をもってわざとちょっと大きめに見るということで、それだけ確証の度合いを上げるというわけです。

Qノイズスペクトルの計算について

http://media.maxim-ic.com/images/appnotes/3642/3642Fig01.gif

よくスペック表にノイズ電圧が書かれていますが、例えば
上記のようなノイズ密度スペクトルがあり、10Hz~200kHzまでのノイズ電圧を求めるにはどうするのでしょうか?

考えられるのは
・縦軸を二乗し、決められた周波数範囲で積分した上で平方根をとる
ということですが、以前ある素子に関して計算したときには計算が全くあいませんでした。
どなたか確かなことを知ってらっしゃったら教えて下さい。

Aベストアンサー

>Vn は正確にはショットノイズだけでなくブラウニアンノイズなど全てのホワイトノイズの足し合わせと考えて良いのでしょうか?
Vn は平坦部分のノイズ密度の値の意味ですが、これは確かに、いろいろなノイズ成分を足し合わせたものです。ただし、それが平坦になっているということは、周波数依存のあるノイズ成分が、その平坦領域では非常に小いために、周波数依存のない平坦なノイズだけが見えている状態になります。したがって、その平坦部分にはブラウニアンノイズも含まれますが、量としては非常に小さいといえます。

2番目の質問から推測すると、JAICAさんの測定したノイズスペクトルには平坦部分がないので Vn が求められないということだと思います。図1のようなスペクトルなら平坦部分が Vn ですが、図2のように平坦部分がない場合は Vn を求めることはできません。

 ↑
 │\       /
 |  \__/_ Vn
 |_______
     周波数      図1

 ↑    /\
 │\ /   \/
 |
 |_______
     周波数      図2

>数値積分する方法をとると思うのですが、その計算方法を教えて下さい。
例えば、図3のようなノイズ電圧密度スペクトル(単位がV/√Hz)があったとします。

ノイズ密度
[V/√Hz]
 ↑       ・ ・
 │    ・
 | ・ ・
 |_______
   f1 f2     f6     図3

このスペクトルが周波数 f の関数として
   V = g(f)
で表わされるとき、fmin~fmaxの範囲でのノイズ電圧の実効値 E [Vrms] は
   E = √{∫[fmin~fmaxx] g(f)^2 df }
となります。つまり、ノイズ密度電圧を2乗したスペクトル g(f)^2 を fmin~fmax の範囲で積分して√をとったのが E になります。実際には、g(f) が簡単な関数で表わされることはないので、以下のように数値的に積分すればいいでしょう。

周波数 f1 のときのノイズ密度が N1、f2 のとき N2 というふうになっていて、全体でn点あるとします。このとき、f1 ~ fn の周波数範囲でのノイズ電圧の実効値 E は
   E ≒ √[ { ( N1^2 + N2^2 )*( f2 - f1 ) + ( N2^2 + N3^2 )*( f3 - f2 ) + ・・・ + ( N(n-1)^2 + Nn^2 )*( fn - f(n-1) ) }/2 ]
と近似できます(台形公式)。例えば、以下のようなデータがあったとします。

周波数[Hz] ノイズ[nV/√Hz]
  1      1.1
  2      1.3
  5      1.5
 10      2
 20      3
 50      4
100      3
200      2
500      1.5
1000     1

周波数が Excel のA列、ノイズ密度[V/√Hz]がB列に書かれているとき、C列で ( N1^2 + N2^2 )*( f2 - f1 ) などを計算して、C10のセルでC列の和を計算します。

     A      B    C
1    1      1.1  =(B1^2+B2^2)*(A2-A1)
2    2      1.3  上式をC2~C9までコピー&ペースト
3    5      1.5
4   10      2
5   20      3
6   50      4
7  100      3
8  200      2
9  500      1.5  ここまでペースト
10 1000      1   =SQRT(SUM(C1:C9)/2) ← これが √(C列の和/2)=ノイズ電圧実効値
       
ちなみに上の計算結果は 59.059 でした。

>Vn は正確にはショットノイズだけでなくブラウニアンノイズなど全てのホワイトノイズの足し合わせと考えて良いのでしょうか?
Vn は平坦部分のノイズ密度の値の意味ですが、これは確かに、いろいろなノイズ成分を足し合わせたものです。ただし、それが平坦になっているということは、周波数依存のあるノイズ成分が、その平坦領域では非常に小いために、周波数依存のない平坦なノイズだけが見えている状態になります。したがって、その平坦部分にはブラウニアンノイズも含まれますが、量としては非常に小さいとい...続きを読む

Q原波形のノイズ除去方法(FFT、逆FFT)

始めに、僕は数値解析等にはかなりの未熟者です。
今、微量な電流を拾ってそれを200倍に増幅した原波形があるのですが、それには多くのノイズがはいってしまい見にくいんです。それでそのノイズを除去したいのです。
今考えているのはFFTをかけてでてきた周波数を逆FFTを行いノイズを除去しようと考えています。もし他に簡単にノイズを除去できる方法があれば教えていただきたいのですが。
今、自分のなりの考えで行うとしてもその処理の仕方がまったくわかりません。どのソフトを使うのが最適なのかがわかりません。こういう場合で使いやすいソフトってありますか?

わかりにくい説明ではありますが、分かる人がいましたらアドバイスください。

Aベストアンサー

No.2です。

画面全体がノイズだらけになるとしたらデータの処理だけで
ノイズを除去する事は難しいかもしれません。
データの再取得が可能であるならば再取得してください。
その際、あらかじめアナログ回路部分でノイズを除去しておいてデータを取得するようにしてください。
データのサンプリング時にエイリアシングが発生して信号にかぶさった場合には後処理でノイズを除去する事は不可能です。


フィルタについてはアナログ回路で実現するもの、AD変換後にデジタル回路で実現するもの、データ取得後にソフトウエアで行うものなどが有ります。

>多少信号のでている時間、大きさに誤差が出てきてしまう
とのことですが、フィルタを通した場合一般的には時間遅れが生じます。
どれだけ遅れるかはフィルタが決まれば決定されるのでその分補正すれば良いです。
大きさについては適切に設計されていれば大きくずれる事はありませんが
フィルタの種類によっては通過域でゲインが変化しないものと多少の変化があるものとが有るので用途によって使い分けします。

フィルタ処理の具体例を挙げます。
No.3さんの計算と同じものです。
/* FIRフィルタのサンプル */
#define DATA_SZ1000 /* データの個数 */
#define KN2
#define KEISU_SZ(2*KN+1) /* フィルタの係数の個数 */

float input[DATA_SZ]; /* 入力データ 適当な方法で初期化すること */
float output[DATA_SZ]; /* 出力データ */
float keisu[KEISU_SZ] = {1.0/KEISU_SZ} ; /* 移動平均フィルタの場合 */

void fir( float *in, float *out, float *ks ){
int i,j ;
float x;

  for( i=KN ; i<DATA_SZ-KN ; i++ )
    {
      x= 0 ;
      for( j=-KN : j<=KN ; j++ )
      {
         x += in[i+j] * ks[j+KN] ;
      }
      out[i] = x ;
   }
} /* インデントを付けるため全角スペースを使用しています */

もっと具体的には
入力データ d0,d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7
係数データ k0,k1,k2,k3,k4
出力データ ______x2______  上下をそれぞれ掛け算したものの合計
x2 = ( d0*k0 + d1*k1 + d2*k2 + d3*k3 + d4*k4 )

出力のx3を求める場合は入力データを1個左にシフトします。
入力データ d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7
係数データ k0,k1,k2,k3,k4
出力データ ______x3______ 
x3 = ( d1*k0 + d2*k1 + d3*k2 + d4*k3 + d5*k4 )

これから分かるように x0,x1 を求めるにはデータが足りません。
どこかから(例えばd0で置き換える)データを持ってくるか、無いものとするしかありません。

係数の数を増やせばより高性能なフィルタとすることが出来ます。
係数を決める、つまりはフィルタを設計する方法の説明はここでは難しいです。
次数がそれほど大きくなけれはエクセルでも計算できます。

No.2です。

画面全体がノイズだらけになるとしたらデータの処理だけで
ノイズを除去する事は難しいかもしれません。
データの再取得が可能であるならば再取得してください。
その際、あらかじめアナログ回路部分でノイズを除去しておいてデータを取得するようにしてください。
データのサンプリング時にエイリアシングが発生して信号にかぶさった場合には後処理でノイズを除去する事は不可能です。


フィルタについてはアナログ回路で実現するもの、AD変換後にデジタル回路で実現するもの、データ取得...続きを読む

Q複数の周波数の波が重なったときRMSはどうやって計算しますか?

50Hzでも500kHzでもただ一つだけ正弦波がある場合、
そのRMS値はその正弦波のp-0の電圧を√2で割った値となります。
一方で50Hzと500kHzが混在する場合には2つの正弦波のRMS値が
足し合わせの波のRMS値になると思います。

ではホワイトノイズはあらゆる周波数の波(0Hz~∞Hz)の足し合わせとなるわけですが、とするとホワイトノイズのRMS値は∞となってしまうのでしょうか?

Aベストアンサー

RMSの定義は、2乗平均値の平方根。
2つの正弦波の和の形をした信号の場合、周波数比が有理数ならば、
2つの正弦波は直交しますので、それぞれの2乗平均値の和が
その信号の2乗平均値になります。
従って、単純にRMS値の和ではありません。
いったん2乗してから和を求め、それの平方根になります。
周波数比が無理数の場合には、2つの正弦波の和の信号の周期は
無限大になります。このときには、厳密な計算はできませんので、
適当に長い周期を仮定して定義に従って積分を行うことになります。
この場合、直交性が使えません。従って、2乗平均値の和がその信号
の2乗平均値になりません。
さて、ホワイトノイズの場合には、周期的ではありませんし、
成分信号の直交性も使えませんから、定義どおり、
十分に長い時間にわたって2乗平均値を求め、それの平方根です。
これは有限です。いくら時間を延ばしても有限です。

QS/N比について

S/N比が10とか100とか書いてある文献が見つかるのですが、これは単純にノイズが1に対して、シグナルが10と考えてよろしいものなんでしょうか?

Aベストアンサー

#2です。一部訂正と補足をします。
私は物理計測で得るデータのS/Nが頭にあって、100dBの高S/Nで計測データを得るケースはまず考えにくいと短絡した次第です。また私の経験では100dBのS/Nの計測系を組むのは超至難でした。こういった先入観から100といえばデシベルではあるまいと書いたのですが、ご質問者がオーディオアンプなどの増幅器を想定されていたのであれば、私の誤りです。それに100dBのSNRのアンプが身の回りにごろごろしているのは知りませんでしたし。ここはお詫びして訂正です。

あと、S/Nと言えば黙ってデシベルかという点ですが、これはやはり、dBならdBと書かねばならないと思われます。S/Nといっても電気電子関係だけではない一般用語ですが、この場は電気電子だけの話のようですので、念のために身の回りにある通信工学電子工学関係の大学教科書を確認したところ次の通りです。
5冊のうち全てS/Nの定義は信号/雑音。うち2冊はこれをdB表現するとこうだと明記。うち一冊は説明無しでその後の数値例をdB表現(dBの記号付き)。残り2冊はdB表現は一切出てこない。
いずれにせよdBの記号抜きでS/Nのデシベル値を書いている例はありませんでした。オーディオの世界は無条件にdB抜きで書く文化なのかも知れませんが、一般的にはdB記号なしでデシベル表現はルール違反だと思われます。

#2です。一部訂正と補足をします。
私は物理計測で得るデータのS/Nが頭にあって、100dBの高S/Nで計測データを得るケースはまず考えにくいと短絡した次第です。また私の経験では100dBのS/Nの計測系を組むのは超至難でした。こういった先入観から100といえばデシベルではあるまいと書いたのですが、ご質問者がオーディオアンプなどの増幅器を想定されていたのであれば、私の誤りです。それに100dBのSNRのアンプが身の回りにごろごろしているのは知りませんでしたし。ここはお詫びして訂正です。

あと、...続きを読む

Q±4σに入る確率について教えてください

ウィキペディアの検索より、
確率変数XがN( μ, σ2)に従う時、平均 μ からのずれがσ以下の範囲にXが含まれる確率は68.26%、2σ以下だと95.44%、さらに3σだと99.74%となる。
と分かりました。

そこで
4σ、


の場合確率はどうなるか教えてください。
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

Excel で NORMDIST を使い、平均 50、標準偏差 10 (いわゆる偏差値)で計算してみましたら、次のようになりました。

 σ 0.682689492137086
2σ 0.954499736103641
3σ 0.997300203936740
4σ 0.999936657516326
5σ 0.999999426696856
6σ 0.999999998026825
7σ 0.999999999997440
8σ 0.999999999999999
9σ 1.000000000000000

Excelの関数の精度がどの程度のものか分かりませんが、9σで100%になりました。

Q近似式(1+r)^n≒1+nrの由来について。

1>>rの時、近似式(1+r)^n≒1+nrは有名な式ですが、
私はこの式は2項定理から証明するものだと思っていたので、
nが自然数限定だと思っていたのですが、

今日、参考書でn=-1の時にこの近似式を使っているものを見ました。
そういえばn=1/2などでも使っていたものがあったような気がします。 
nがマイナスや分数、あるいは無理数の時、この近似式はどこから導かれているのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

テイラー展開
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B
をしたとき、
第1項は1、第2項はnrとなり、第3項以降は、r^2 の項、r^3 の項、r^4 の項・・・・・になります。

rが1より非常に小さいので、第3項以上は非常に小さいものの2乗、3乗、4乗・・・・・の項になります。

係数がどうであれ、非常に小さいものの2乗、3乗、4乗・・・・・ですから、1乗の項に比べれば無視できるということです。
よって、第1項(1)と第2項(rの1乗の項)だけの近似が成り立ちます。

Q標準偏差を求める際のデータ数について

統計初心者ですが、この度アンケート調査を行い、その結果報告書を作成しなければならないのですが、データ数9の場合、平均、最小、最大に加え、標準偏差も記載しようと思っていますが問題はないでしょうか?

標準偏差は、データが30、50以上ないと意味がないということを聞いたことがあるので戸惑っています。

また問題ない場合、「データ数が少ない場合は補正係数を掛ける」という説明を見かけたのですが、これは単に算出した標準偏差に補正係数を掛けて、記載すればいいのでしょうか? この場合の記載の仕方などについても教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

標準偏差を求めることは,特に問題はありません。
ただ,データ数が少ないとばらつき具合が正しいかどうかの判断に困るというだけです。

補正係数については,条件によって変化する場合,例えばアンケートだと男女差や年代等による差異を軽減するためには使えますが,質問を見る限りは補正をする必要はないと思います。

標準偏差の意味を知る意味でも,正規分布について調べてみることをおすすめします。

Qエクセル2010 書式が多すぎて追加できない。

計算の量が増えてきたためブックを分けて
マイクロソフトのサポートを読みながらフォントなども統一して
極力書式を増やさないようにしているのですが、
1Sheetしか作っていないのに
書式が多すぎるて追加できません。と出てしまい
他のブックからの文字、数値のコピーが出来ません。
他のブックとフォントなどはそろえています。

参考になるサイトも見つからず困っています。
どうぞよろしくお願い致します。

Aベストアンサー

2007(2010でも同じ?)の場合、制限数は、64000のようですのでこれを超えるケースは、少ないと思いますが???
スタイルが壊れたものがあるのかもしれませんね?
http://www.excel-img.com/system01.html


>参考になるサイトも見つからず困っています。
以下のサイトは、見られたのでしょうか?
http://www.no-dash.com/2009/09/01-2034.html
このサイトでやったやり方の一つの例が
http://blog.tan-w.net/archives/1763

もう一つ下記のソフトがあります。
2007では、使えるようですが、2010では???
http://www.vector.co.jp/soft/win95/business/se411987.html

以上はいずれもバックアップを取った状態で実行のこと。

>他のブックからの文字、数値のコピーが出来ません。
このコピー→貼り付けの場合、「形式を選択して貼り付け」→「値」で張り付かないのしょうか?

このトラブルは多いようなので是非、解決された場合は、どんな方法で解決されたのかを記述されるように・・・
他の方の参考になります。

2007(2010でも同じ?)の場合、制限数は、64000のようですのでこれを超えるケースは、少ないと思いますが???
スタイルが壊れたものがあるのかもしれませんね?
http://www.excel-img.com/system01.html


>参考になるサイトも見つからず困っています。
以下のサイトは、見られたのでしょうか?
http://www.no-dash.com/2009/09/01-2034.html
このサイトでやったやり方の一つの例が
http://blog.tan-w.net/archives/1763

もう一つ下記のソフトがあります。
2007では、使えるようですが、2010では???
http:/...続きを読む


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