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曲面z=x^2+y^2の点(1,0,1)における単位法線ベクトルを求めよ

という問題で、答えが分からず困っています。


1.

φ=x^2+y^2-z=0
gradφ=(2x,2y,-1)
(1,0,1)での勾配は、(1,0,1)を代入してgradφ=(2,0,-1)
この単位ベクトルを求めて、(2,0,-1)*5^(-1/2)


2.

求める値は
{(∂φ/∂x)×(∂φ/∂y)}/{l(∂φ/∂x)×(∂φ/∂y)l}に(1,0,1)を代入すればよいので
(-2x,-2y,1)/(4x^2+4y^2+1)^(-1/2)に(1,0,1)を代入すればよい
よって、(-2,0,1)*5^(-1/2)

どちらの答えがあっているのでしょうか?

出てきた値の符号が違うので........

A 回答 (1件)

ある曲面の単位法線ベクトルがuだとすると、-uもまた単位法線ベクトルになります。


両方とも単位法線ベクトルです。
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    • 1
この回答へのお礼

テストがあったため、すぐにお礼ができませんでした

ありがとうございます

お礼日時:2011/08/08 17:27

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Q単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ.

という問題です.

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
 8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
 -8dx+4dy+12dz=0
 4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル:±(-2,1,3)
 |(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14

Qベクトル場の面積分に関してです

1.半球面S:x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (-2x, 2y, z)において、
  ∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
    (条件:面積分と極座標を用いなければならない)

2.半球面S:x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (2x, 2y, z)において、
  ∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
    (条件:ガウスの発散定理を用いなければならない)

この2問がどうしても解けないので教えていただけないでしょうか?
特に、1.に関しては「式変形の流れ」、2.に関しては、閉局面として扱って計算した後に底辺を除く必要があるので「底辺の計算方法」だけでも教えていただけると有難いです。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います.

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが,S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また,
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる.

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑・n↑ dS
= r^3 ∫[0,π/2] dθ ∫[0,2π] dφ (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)
= 2π r^3 /3
= 18π.

2.
Sに底面を合わせたものをEとし,Eを表面とする体積領域をVとすると,
ガウスの発散定理より

∫[E] f↑・dS↑
= ∫[V] div f↑ dV
= ∫[V] 5 dV
= 18π×5
= 90π.

で,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ - ∫[底面] f↑・dS↑
なのですが,底面での単位法線ベクトルは明らかにz軸に平行であるのに対し,
底面においてz = 0ですから,f↑は底面において f↑ = (2x,2y,0)となり
z軸に対して垂直です.
すなわち,底面においてf↑とn↑とは垂直なのです:
f↑・n↑ = 0.

したがって
∫[底面] f↑・dS↑ = ∫[底面] f↑・n↑ dS = 0
であり,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ = 90π.

ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います.

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが,S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また,
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる.

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑...続きを読む

Q単位法線ベクトル

たとえばある曲面Sにおける単位法線ベクトルが[1,1,1]であるときその単位ベクトルと反対向きのベクトル[-1,-1,-1]も単位法線ベクトルといえると考えてもよいのでしょうか?

以下は問題で
x^2+y^2-z-1=0であらわされた曲面Sの点(1,1,1)における単位法線ベクトルを求めよというものです。
r'x=i + 2xk
r'y=j + 2yk
としこれらのベクトル積を求めました。
大きさは3となったのですが、ベクトル積は歪対象則から[-2,-2,1]と[2,2,-1]ができてしまうと思います。
しかし答えとしては[2/3,2/3,-1/3]のみしか載っていません。
もしただひとつ決まるものならばどのような考えでそのひとつに決まるのでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

単位法線ベクトルは絶対値が1ですから、絶対値で割ってやる必要がありますね。
(2,2,-1)の絶対値は 3 ですから 3で割って
(1/3)(2,2,-1)=
となるわけです。

数学では単位法線ベクトルが、向きが逆の
-(2/3,2/3,-1)=(-2/3,-2/3,1)
のどちらでも正解に入るでしょう。おそらく、より正の成分が多い方の
(2/3,2/3,-1)で代表させるのでしょう。

物理学や電磁気学では力や電気力線や磁界などの向きが問題になりますので、座標系やベクトル積を右手系で扱うとか、左手系で扱うとかに決めて、曲面にも正側、負側を決めてやります。
たとえばベクトル積の場合だと
A×Bのベクトルの向きを右手系で定義すると、AをBに重ねるように回転したとき、その回転面に対して垂直な方向に向けた右ネジを同じ向きに回転させた時、右ネジがすすむ方向をベクトル積の正の方向とする。

また別の例として、閉曲面の周囲を閉曲面を左に見て1周するとき、その面に立てた右ネジを同じ方向に回転させ右ネジが進む側の方の曲面を閉曲面の正の側とし、その正の側の方に向いた大きさ1の法線ベクトルを単位法線ベクトルと定義して不確定要素を排除しているかと思います。

右手系、左手系、その間の相互の変換については参考URLをご覧下さい。

参考URL
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%B3%E6%89%8B%E7%B3%BB
http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/AxialAndPolar/
http://wiki.livedoor.jp/atushiinliv/d/%BA%B8%BC%EA%BA%C2%C9%B8%B7%CF%A4%C8%B1%A6%BC%EA%BA%C2%C9%B8%B7%CF%B4%D6%A4%CE%CA%D1%B4%B9

参考URL:http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/pdf/2002/a11/20.pdf

単位法線ベクトルは絶対値が1ですから、絶対値で割ってやる必要がありますね。
(2,2,-1)の絶対値は 3 ですから 3で割って
(1/3)(2,2,-1)=
となるわけです。

数学では単位法線ベクトルが、向きが逆の
-(2/3,2/3,-1)=(-2/3,-2/3,1)
のどちらでも正解に入るでしょう。おそらく、より正の成分が多い方の
(2/3,2/3,-1)で代表させるのでしょう。

物理学や電磁気学では力や電気力線や磁界などの向きが問題になりますので、座標系やベクトル積を右手系で扱うとか、左手系で扱うとかに決めて、曲面にも正側、負...続きを読む

Qベクトル解析の面積分

ベクトル解析学の面積分でわからないところがあります。
面積分習いたてであまりわからないのですが、
S:円柱面 y^2+z^2=4
0≦x≦1
z≧0
のとき、次の面積分を求めよ。
∫_[S](xi+yj+zk)・dS

この問題なのですが、
z^2=4-y^2≧0
y^2≧4
-2≦y≦2
くらいまで少し考えてみたのですが、すぐに行き詰まってしまいました。
この後はどうすればいいのでしょうか。
今まではこの後に
z=f(x,y)
とかになり、fxやfyを出せたのですぐにできたのですが、zがxで表現できないので…
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

問題の図形は半円柱 (カマボコ型) ですが,
積分する範囲は円柱の側面 (曲面部分) だけでいいのでしょうか,
それともカマボコ型の表面全体でしょうか?
一応各部分に分けて計算します.

円柱座標を使って y = r * cosθ,z = r * sinθ とします.

■半円柱の側面 (曲面部分)

・外向きの法線ベクトル:(0, y,z)=(0, r * cosθ, r * sinθ).
これを正規化すると単位法線ベクトルnは (0, cosθ,sinθ).

・微小面積 |dS| = r * dθ * dx.

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, r * cosθ, r * sinθ)・(0, cosθ, sinθ) * |dS|
= (r * (cosθ)^2 + r * (sinθ)^2) * r * dθ * dx
= r^2 * dθ * dx.

これを 0≦θ≦π,0≦x≦1 の範囲で積分すると,円柱側面での面積分は,
I1 = r^2 * π * 1 = πr^2.


■円柱の底面 (x=1)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(1,0,0).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, y, z)・(1, 0, 0) * |dS|
= x * |dS|
= |dS|.

これを円柱の底面にわたって積分すると,底面積そのものなので,
I2 = πr^2 / 2.


■円柱の底面 (x=0)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(-1,0,0).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, y, z)・(-1, 0, 0) * |dS|
= -x * |dS|
= 0.

∴ I3 = 0.


■カマボコの底面 (z=0)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(0,0,-1).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・(0, 0, -1) * |dS|
= -z * |dS|
= 0.

∴ I4 = 0.

したがって全体の面積分は I1+I2+I3+I4 = (3/2)πr^2 = 6π.

答え合ってますか?

問題の図形は半円柱 (カマボコ型) ですが,
積分する範囲は円柱の側面 (曲面部分) だけでいいのでしょうか,
それともカマボコ型の表面全体でしょうか?
一応各部分に分けて計算します.

円柱座標を使って y = r * cosθ,z = r * sinθ とします.

■半円柱の側面 (曲面部分)

・外向きの法線ベクトル:(0, y,z)=(0, r * cosθ, r * sinθ).
これを正規化すると単位法線ベクトルnは (0, cosθ,sinθ).

・微小面積 |dS| = r * dθ * dx.

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, r...続きを読む

Q接平面の式

曲面z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)における接平面の式は
どのように求めればいいのでしょうか?

また、その接平面から距離が√5となる平面の式も
求めたいのです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

参考程度に

「曲面z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)における接平面の式は
どのように求めればいいのでしょうか?」

接平面の方程式がいりますね。
z=f(xy), 点(a,b,c) の時の 接平面の方程式は、
z-c=fx'(a,b)(x-a)+fy'(a,b)(y-b)
ですね。
z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)の場合は、
c=1, {∂f(xy)/∂x}(1,1,1)=-2x=-2
{∂f(xy)/∂y}(1,1,1)=-2y =-2
z-1=-2(x-1)-2(y-1)=-2x-2y+4
z=-2x-2y+5
ということですかね。

Q法線ベクトルの基礎中の基礎

度々お世話になります。

直線のベクトル方程式とその法線ベクトルの関係で、
「直線ax+by+c=0において、n↑=(a,b)はその法線ベクトルである」との事ですが、このn↑=(a,b)というのは、成分表示ですから、n↑の始点を原点Oに取って、その終点の座標が(a,b)である、という捉えで良いのでしょうか。
例えば、次の基本的な問題

問 「二直線x+√(3)y-1=0…(1)、x-√(3)y+4=0…(2)について、
a,直線(1)(2)の法線ベクトルm↑、n↑のなす角θ。
b,二直線(1)(2)のなす鋭角α。
をそれぞれ求めよ」

を内積を使って計算だけで求めるのは教科書通りにやれば簡単に求まりますが、特に問題のbについて、自分で座標平面に作図してみたら、先の当方の捉え方ですと…
まず、n↑=(1,√(3))、m↑=(1,-√(3))ですから、これをそれぞれ始点を原点に取って、それぞれの座標通りに終点を取りますと、n↑が二直線(1)(2)の内部のm↑と交わらずII象限で交わってしまうのです。
解説を見たところ、bの問題は、円に内接する四角形の定理からαを求めているように見えるので、法線ベクトルn↑は四角形を作るように、m↑と交わらないと定理が成り立たない気がするのです。

という事は、n↑に限らず、法線ベクトルは、普通のベクトル同様に、位置は問題にせず、任意に平行移動しても良いということになるのでしょうか。
 計算間違いがあるかもしれないし、漠然とした内容の質問で申し訳ありませんが、アドバイス下さると有り難いです。
宜しくお願いします。

度々お世話になります。

直線のベクトル方程式とその法線ベクトルの関係で、
「直線ax+by+c=0において、n↑=(a,b)はその法線ベクトルである」との事ですが、このn↑=(a,b)というのは、成分表示ですから、n↑の始点を原点Oに取って、その終点の座標が(a,b)である、という捉えで良いのでしょうか。
例えば、次の基本的な問題

問 「二直線x+√(3)y-1=0…(1)、x-√(3)y+4=0…(2)について、
a,直線(1)(2)の法線ベクトルm↑、n↑のなす角θ。
b,二直線(1)(2)のなす鋭角α。
をそれぞれ求めよ」

を内積を使って計算だ...続きを読む

Aベストアンサー

こんばんわ。

方向ベクトルにしても、法線ベクトルにしても、
書かれているようなイメージでいいと思います。

方向ベクトルは考えている直線が進んでいく方向を表し、
法線ベクトルは考えている直線に対する垂線が進んでいく方向を表しており、
いずれも直線の方向を与えているだけです。

たとえば、直線の方程式が 2x+ 4y- 3= 0であれば、
法線ベクトルは n→= (2, 4)と表すことになりますが、
n→= (1, 2)としても「その進んでいく方向」は同じであり、これも法線ベクトルと言えます。
さらに、-1を乗じた n→= (-1, -2)も法線ベクトルと言えます。
値というよりも「比」がポイントなのです。


「なす角」を考える問題では、質問に書かれているとおり「平行移動」させて構いません。
2直線の交点となる点を原点まで平行移動させているイメージになります。


最後に「方向ベクトル」に関する過去の質問を参考URLとしてつけておきます。

参考URL:http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6229779.html

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q線形代数の3次元空間での法線ベクトル、平面の方程式

線形代数の、3次元空間での法線ベクトル、平面の方程式の問題を教えて下さい
この問題が分かりません
3 次元空間において次の問いに答えなさい.
(1) 原点を含む法線ベクトル
1
  2
-1
の平面S の方程式を求めなさい
(2) 点(4, 5, 2) から平面S に垂線Lを下ろす. 直線Lの方程式とLとS の交点を求めなさい
(3) 直線Lを含み点(0, 0, 0) も含む平面の方程式を求めなさい
という問題です。皆さんお願いします
教えて下さい

Aベストアンサー

(1) 原点を含む法線ベクトル(1,2,-1) の平面S の方程式を求めなさい
>ベクトルを↑で表し、法線ベクトルを↑N(1,2,-1)とする。
S上の任意の点を(x,y,z)とすると、原点(0,0,0)がS上の点なので、
↑(x,y,z)は↑N(1,2,-1)と直交する。
よって内積を↑・↑で表すと↑(x,y,z)・↑N(1,2,-1)=x+2y-z=0
x+2y-z=0・・・答
(2) 点(4, 5, 2) から平面S に垂線Lを下ろす. 直線Lの方程式とLとS の交点を求めなさい
>直線L上の任意の点を(x,y,z)とするとuを実数として
↑(4, 5, 2)-↑(x,y,z)=u↑N=u↑(1,2,-1)だから
4-x=u、5-y=2u→(5-y)/2=u、2-z=-u→z-2=u
よって直線の方程式は4-x=(5-y)/2=z-2・・・答
x+2y-z=0に4-x=(5-y)/2→y=2x-3、4-x=z-2→z=6-xを代入
x+2(2x-3)-(6-x)=6x-12=0、x=2、y=2*2-3=1、z=6-2=4
よってLとS の交点は(2,1,4)・・・答
(3) 直線Lを含み点(0, 0, 0) も含む平面の方程式を求めなさい
>3点(0,0,0)、(4,5,2)、(2,1,4)を含む平面上の任意の
点を(x,y,z)とすると、u,vを実数として
↑(x,y,z)=u↑(4,5,2)+v↑(2,1,4)
要素を比較してx=4u+2v(ア)、y=5u+v(イ)、z=2u+4v(ウ)
(ア)(イ)からu,vをx,yで表すとu=(2y-x)/6、v=(5x-4y)/6
これらを(ウ)に代入して
z=2u+4v=2{(2y-x)/6}+4{(5x-4y)/6}=(3x-2y)
よって、3x-2y-z=0・・・答

(1) 原点を含む法線ベクトル(1,2,-1) の平面S の方程式を求めなさい
>ベクトルを↑で表し、法線ベクトルを↑N(1,2,-1)とする。
S上の任意の点を(x,y,z)とすると、原点(0,0,0)がS上の点なので、
↑(x,y,z)は↑N(1,2,-1)と直交する。
よって内積を↑・↑で表すと↑(x,y,z)・↑N(1,2,-1)=x+2y-z=0
x+2y-z=0・・・答
(2) 点(4, 5, 2) から平面S に垂線Lを下ろす. 直線Lの方程式とLとS の交点を求めなさい
>直線L上の任意の点を(x,y,z)とするとuを実数として
↑(4, 5, 2)-↑(x,y,z)=u↑N=u↑(1,2,-1)だから
4-x=u、5-y=2u→(5-y)/...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。


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