単位法線ベクトルの求め方

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質問者：mkmiyayaya
質問日時：2011/08/02 15:29
回答数：1件

曲面z=x^2+y^2の点（１，０，１）における単位法線ベクトルを求めよ

という問題で、答えが分からず困っています。

１．

φ=x^2+y^2-z=0
gradφ=(2x,2y,-1)
(1,0,1)での勾配は、(1,0,1)を代入してgradφ=(2,0,-1)
この単位ベクトルを求めて、(2,0,-1)*5^(-1/2)

２．

求める値は
{（∂φ/∂x)×（∂φ/∂y）}/{l（∂φ/∂x)×（∂φ/∂y）l}に(1,0,1）を代入すればよいので
（-2x,-2y,1)/(4x^2+4y^2+1)^(-1/2)に(1,0,1)を代入すればよい
よって、(-2,0,1)*5^(-1/2)

どちらの答えがあっているのでしょうか？

出てきた値の符号が違うので........

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回答 (1件)

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No.1ベストアンサー

回答者： nag0720
回答日時：2011/08/02 19:01

ある曲面の単位法線ベクトルがuだとすると、-uもまた単位法線ベクトルになります。

両方とも単位法線ベクトルです。

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お礼日時：2011/08/08 17:27

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Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
　8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
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　　∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
　　　　（条件：面積分と極座標を用いなければならない）

２．半球面S：x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (2x, 2y, z)において、
　　∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
　　　　（条件：ガウスの発散定理を用いなければならない）

この2問がどうしても解けないので教えていただけないでしょうか？
特に、１．に関しては「式変形の流れ」、２．に関しては、閉局面として扱って計算した後に底辺を除く必要があるので「底辺の計算方法」だけでも教えていただけると有難いです。

よろしくお願いします！

Aベストアンサー

ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います．

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり，S上でrは一定値 r = 3 です．

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが，S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また，
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので，θは0からπ/2の値をとりうる．

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑...続きを読む

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をそれぞれ求めよ」

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Aベストアンサー

こんばんわ。

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法線ベクトルは n→＝ (2, 4)と表すことになりますが、
n→＝ (1, 2)としても「その進んでいく方向」は同じであり、これも法線ベクトルと言えます。
さらに、-1を乗じた n→＝ (-1, -2)も法線ベクトルと言えます。
値というよりも「比」がポイントなのです。

「なす角」を考える問題では、質問に書かれているとおり「平行移動」させて構いません。
2直線の交点となる点を原点まで平行移動させているイメージになります。

最後に「方向ベクトル」に関する過去の質問を参考URLとしてつけておきます。

参考URL：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6229779.html

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偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
（英語）
curly d,　rounded d,　curved d,　partial,　der
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（日本語）
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと（数学、物理学、経済学、工学など）の読み方の違い
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Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

（１）
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（３）
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1
　 2
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