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α、β、γは定数として、4階テンソル Aijkl = αδijδkl + βδikδjl + γδilδjk が等方テンソルであることを証明したいのですが、どうすればよいのでしょうか?回答お願いします。

A 回答 (1件)

2階と3階の等方テンソルはクロネッカーδとレヴィチヴィタの記号。


http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/IsotropicT …
δijδkl等は等方テンソルのテンソル積の形になっているから等方。
Aijkl = αδijδkl + βδikδjl + γδilδjk 
はそれらの和だから等方。
傲慢に聞こえるかもしれないが、このサイトの回答陣はこの問題ができないようでは問題だと思う。
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Qテンソルの等方性について

数物系でよく出てくるテンソルですが、等方性を仮定するとした場合、制約がついてくるようです。
例えば2階のテンソルは、その表現は通常のマトリックスのようにPi,jとなると思います。これに等方性を仮定すると、
Pi,j=Aδi,j ここでδはクロネッカーのデルタです。これはどのようにして証明できるでしょうか。
テンソルを考える上でも基底ベクトルがあってそれによってテンソルの各成分Pi,jの表現が決まってくると思います。基底ベクトルを回転させても成分が常に同じとなる、というのが等方性だと私は思っているのですが。テンソルの成分変換もテキストには載っているので、変換前後で同じになるための条件を見ればいいのかなと思いますが、なんとなくうまくいきません。すべて勘違いかも知れません。
どうでしょうか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>基底ベクトルを回転させても成分が常に同じとなる、
>というのが等方性だと私は思っているのですが。

ここまでわかってるなら答えは出ているようなものだと思いますが。
二階のテンソルの要件は座標変換

A' = U^T A U

にしたがうこと。
ここで、座標変換行列Uは実直交行列なので転置行列が逆行列U^T U = U U^T = E。
ゆえに、Aが単位行列Eのa倍、つまりA = aE なら

A' = U^T A U = a U^T E U = a U^T U = aE = A


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