問・男子4人と女子4人が手をつないで輪を作るとき、次の並び方は何通りあるか求めよ。
 
 男子と女子が交互に並ぶ。

この問題、答えを見ると、
  (4-1)!*4!
となっているんですが、解説が載っておらず考えたんですが理屈がわかりません。
どなたか、説明できる方お願いします…。

A 回答 (3件)

qunny-hillさん、こんにちは。



>男子4人と女子4人が手をつないで輪を作るとき、男子と女子が交互に並ぶ。

>この問題、答えを見ると、
  (4-1)!*4!

これはまず、男子が先に円状に並ぶ場合の数を考えたらいいと思います。
これは、純粋に円順列なので、(4-1)!通りです。

それに対して、男子と男子の間のスペースに、女子を入れていく入り方を
考えていけばいいと思います。

たとえば、男子がA、B,C,Dと円状に並んだ場合。
間のスペースは4箇所ありますが、女子を1,2,3,4とすると

A B C D A

 1 2 3 4
 1 2 4 3
 1 3 2 4
 1 3 4 2
・・・・・

という風に考えていけば、4!通りの入れ方があると思います。

なので、(4-1)!×4!
という答えになるのではないでしょうか。
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円順列だから、ある男A君をどこでもいいから座らせる。

(結局回転させれば全て一緒になる。)そして、残りの男3人の並び方は3!通り、女の並び方は4!通り。よって、全部で3!*4!(通り)になる。
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男女を1ペアとして、円順列    (4-1)!


で、その男女のペアは何通りかで   4!
なのではないかと・・・・・・
わたしも普通に円順列の問題とか解いてる身なので確信はありませんが
参考になれば・・・・・・
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【1】同じ文字を3個含む場合 aaaで、残り1個は 3通り
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【4】4個とも互いに異なる文字の場合 abcdで 1通り
 したがって、
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                                   =114

この問題の【3】同じ文字を2個を1組だけ含む場合 のときは
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よく見て下さい。ちゃんと掛けています。

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順列の方にも掛けています。

Q分散分析の交互作用グラフの解説

以下のリンク先の分散分析の交互作用グラフの解説をお願いします。
http://kogolab.chillout.jp/elearn/hamburger/chap7/sec3.html

主効果がある、ないの見方が理解できません。
→以降に、自分の見方を書きました。見方は適切でしょうか。
(1)~(5)は理解できましたが(6)が理解できません。
わかりやすく解説して頂けると幸いです。

■交互作用のない場合
(1)Aの主効果もBの主効果もない。
→B水準のB1とB2を比較し、差がない。A水準のA1とA2を比較しても、差がない。
つまり、A、Bともに主効果がない。グラフは平行なため交互作用なし。

(2)Bの主効果のみ。
→B水準のB1とB2を比較し、差がある。A水準のA1とA2を比較しても、差がない。
つまり、B水準の主効果はある。A水準の主効果はなし。グラフは平行なため交互作用なし。

(3)A、Bともに主効果あり。
→B水準のB1とB2を比較し、差がある。A水準のA1とA2を比較し、差がある。
つまり、A、Bともに主効果がある。グラフは平行であるため、交互作用なし。

■交互作用のある場合
(4)A、Bともに主効果があり、交互作用あり。
→B水準のB1とB2を比較し、差がある。A水準のA1とA2を比較し、差がある。
つまり、A、Bともに主効果がある。グラフは平行ではないため、交互作用あり。

(5)A、Bともに主効果があり、交互作用あり。
B水準のB1とB2を比較し、差がある。A水準のA1とA2を比較し、差がある。
つまり、A、Bともに主効果があるが、B1ではA水準の効果はなく、B2でのみA水準の効果がある。グラフは平行でないため、交互作用あり。

(6)交互作用のみ。
→B水準のB1とB2を比較し、差がある。A水準のA1とA2を比較し、差がある。
つまり、A、Bともに主効果がある?とおもいます。グラフも平行でないため交互作用もある。
(6)が理解できません・・・

よろしくお願いします。

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http://kogolab.chillout.jp/elearn/hamburger/chap7/sec3.html

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→以降に、自分の見方を書きました。見方は適切でしょうか。
(1)~(5)は理解できましたが(6)が理解できません。
わかりやすく解説して頂けると幸いです。

■交互作用のない場合
(1)Aの主効果もBの主効果もない。
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ANo.1へのコメントについてです。

 実際に手を動かしてみれば分かることだと思います。何はさておき、V(a,b)の式において、(a,b)に(-1,-1), (-1,1), (1,-1), (1,1)をそれぞれ代入してみて下さい。すると、4本の式
  V(-1,-1) = -C1-C2+D+E
  V(-1,1) = -C1+C2-D+E
  V(1,-1) = C1-C2-D+E
  V(1,1) = C1+C2+D+E
が得られるでしょう。これをご自分でも計算して、確認してください。

> 2×C1 2×C2の所は、なぜ2をかけることになるのでしょうか。

 要因Aの主効果ってのは、「要因Bがどうであれ、Aがあるかないかで結果にどれだけ差が出るか」ということです。なので、上記の4本の式を利用して、C1については「Aがあるかないかの差」すなわち V(1,-1)-V(-1,-1) および V(1,1)-V(-1,1) を計算してみて下さい。もちろん、C2については「Bがあるかないかの差」すなわち V(-1,1)-V(-1,-1) および V(1,1)-V(1,-1) を計算します。
 さらに、交互作用がない場合について検討するために、この計算で得られた式にD=0を代入してみて下さい。

> この符合が場所により、変化することはいかように解釈すれば良いでしょうか?

 符号が変化するのが不思議だな、と思われたんでしょうね。けれど、それは、ま、どうでも良いことです。
 この回答の冒頭に書いた4本の式の左辺は(測定した値なんですから)値が分かっている定数である。そこで、これら4本の式を「C1, C2, D, Eを未知数とする4元連立方程式」だと思って解くと、C1, C2, DがANo.1の式の通りに得られる、というだけの話です。
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Q小 6 算数 順列と組合せ

小学 6 年の算数では,順列と組合せについて学びますが,どの程度の内容でしょうか。

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Q確率の問題。4人の男子、2人の女子の計6人の・・・

男子4人、女子2人の6人を任意の三人ずつのグループに分けた時
どちらのグループにも女子が含まれる確率を求めなさい。

2通りに考えたら違った答えが出てしまいました。
分母は6C3で間違いないと思うのですが、問題は分子です。
考えづらいのでイスに座ってもらうことにしました

1、2人の女子には別のグループになるように予め別のグループの
イスに座ってもらい残りの男子が余った4つのイスにどう座るかで
何通りかを考える方法。そうするといずれか一方のグループの空いている
2つのイスに着目するとそこに4人のうち2人が座る組み合わせは4C2=6
∴3/10

2、2人のうち1人の女子に適当なイスに座ってもらいもう1人の女子が
余っている5つのイスのうちどこに座るかで考える方法。
∴3/5

私としては1が間違っていると思うのですがどこがいけないのでしょうか?
間違いをしてくれるとうれしいです

Aベストアンサー

> 2つのイスに着目するとそこに4人のうち2人が座る
> 組み合わせは4C2=6

 女の子2人を A, B とします。男の子4人から2人を選び出す組み合わせは,お書きの「4C2=6」です。

 ここで選ばれた2人は,女の子 A のグループになるか,女の子 B のグループになるかの2通り考えられます。

 したがって,組み合わせの総数は「4C2=6」の2倍で12通りになります。

 よって,求める確率は,12/20 = 3/5 で考え方1,2とも同じになります。

Q順列組合せの拡張関数

階乗n!の拡張にガンマ関数がありますが、順列組合せnCrを拡張した関数はあるのでしょうか。

Aベストアンサー

ベータ関数

QA~Eの5種類の文字から10桁の文字列を作って、A,B,Cの文字が含まれる並びは何通り?

A~Eの5種類の文字から、10桁の文字列を作り、
 ※AAAAAAAAAA、AAAAAAAAAB、AAAAAAAAAC~EEEEEEEEEEまでの9,765,625通りかな?
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 ※AABBCCDDEE,ABCDEABCDE,AAAAAABCDE,というような並びはOKですね。
 ※AABBDDEEAAは、Cが入っていないのでダメです。
を、知りたいです。

計算式と答えを頂けると助かります。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No.1&3&5です。いろいろとゴタゴタしましたので、全体を再度統合して完成版の回答にします。

*****以下、回答*****

A, B, C をすべて1つ以上含む文字列ということですね?
まっとうに数えると、A, B, C がいくつ、どこに入るかによって、重複したものを数えないようにするのはけっこう複雑になります。

そういうときには、「A, B, C のいずれも含まない文字列」をトータルから差し引くようなやり方が一番簡単でしょう。

ということで、
「A をまったく含まない文字列」は、「B~Eの4種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
  4^10 = 1,048,576
「B をまったく含まない文字列」は、「A, C~Eの4種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
  4^10 = 1,048,576
「C をまったく含まない文字列」は、「A, B, D~Eの4種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
  4^10 = 1,048,576

これら3つは、各々独立なものではなく、たとえば「Aを含まない文字列」の中には「Bを含まない文字列」もあるので、一部重複しています。従って、重複したものをダブルカウントしないようにしないといけません。

下記の図から上記3つのケースで重複しているものを調べると、
「AもBも含まない」は、「C~Eの3種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
  3^10 = 59,049
「AもCも含まない」は、「B, D~Eの3種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
  3^10 = 59,049
「BもCも含まない」は、「A, D~Eの3種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
  3^10 = 59,049
「AもBもCも含まない」は、「D~Eの2種類の文字から、10桁の文字列を作る」ということですから
  2^10 = 1,024

よって「A, B, C のいずれも含まない文字列」は
  1,048,576 × 3 - 59,049 × 3 + 1,024 = 2,969,605
です。

これをトータルの文字列数「5^10 = 9,765,625」から引いて、「A, B, C をすべて1つ以上含む文字列」は
  9,765,625 - 2,969,605 = 6,796,020
となります。

No.1&3&5です。いろいろとゴタゴタしましたので、全体を再度統合して完成版の回答にします。

*****以下、回答*****

A, B, C をすべて1つ以上含む文字列ということですね?
まっとうに数えると、A, B, C がいくつ、どこに入るかによって、重複したものを数えないようにするのはけっこう複雑になります。

そういうときには、「A, B, C のいずれも含まない文字列」をトータルから差し引くようなやり方が一番簡単でしょう。

ということで、
「A をまったく含まない文字列」は、「B~Eの4種類の文字から...続きを読む

Q無限順列に対して無限組合せを考えると

Aを要素が3つの有限集合{x,y,z}とします。Nを自然数の集合{1,2,3,4,…}とします。
写像:A→Nを考えます。
これは幾何学的には空間N^3を表しています。
また、解析的には、項数が3の自然数の数列を表してます。
例えばピタゴラス数(x^2+y^2=z^2を満たす自然数x,y,z)を考えるといった実用性があります。

以上のことを、組合せで考えます。
例えばピタゴラス数では、x^2+y^2=z^2を満たす自然数x,y,zに、同じ組合せを同一視したり、x<y<z、もしくは、x≦y≦zといった制限を与えることになります。
これはごく普通の考えと思います。

次に、Nを自然数の集合{1,2,3,4,…}とします。Aを要素が3つの有限集合{0,1,2}とします。
写像:N→Aを考えます。
これは組合せ論的には、3つの要素を無限個並べた順列を表しています。
また、解析的には、各項が0,1,2の無限数列を表してます。
例えば0≦x≦1の実数xの3進法表示(ただし、0.210222…=0.211000…といったような同一視をする)を考えるといった実用性があります。

以上のことを、(重複)組合せで考えてみると、3種類の数字の数列に対して、イレカエをしても同じになる並べ方を同一視することになります。
統計学的には、無限個並べた3種類の数字の度数分布を考えることになります。
絵描きが無限の溝があるパレットに、3種類の絵の具からひとつずつ選び、一定量を出して並べていった後、かき混ぜたときの色を考えることになります。

これもまあ普通の考えと思うのですが、いわゆる「無限組合せ」は聞いたことありません。
なにか実用性はあるのでしょうか。数学の他の分野と関連はあるのでしょうか。

実数(√2)-1の3進法表示で、無限桁の数字0、1、2の「割合」はそれぞれ1/3、1/3、1/3なのでしょうか?
3種類の数字のなんらかの数列(無限順列)に対して、「無限組合せ」を考えたときに、何か面白いことはあるのでしょうか。

Aを要素が3つの有限集合{x,y,z}とします。Nを自然数の集合{1,2,3,4,…}とします。
写像:A→Nを考えます。
これは幾何学的には空間N^3を表しています。
また、解析的には、項数が3の自然数の数列を表してます。
例えばピタゴラス数(x^2+y^2=z^2を満たす自然数x,y,z)を考えるといった実用性があります。

以上のことを、組合せで考えます。
例えばピタゴラス数では、x^2+y^2=z^2を満たす自然数x,y,zに、同じ組合せを同一視したり、x<y<z、もしくは、x≦y≦zといった制限を与えることになります。
これはごく普通の考...続きを読む

Aベストアンサー

>実数(√2)-1の3進法表示で、無限桁の数字0、1、2の「割合」はそれぞれ1/3、1/3、1/3なのでしょうか?

この点についてだけ回答します。
そういった性質(「相対度数」の極限が一様分布する)をすべてのn≧2でのn進展開について満たす実数は正規数と呼ばれます。
正規でない実数の集合はルベーグ測度0であることは知られています。
(√2)-1が正規かどうかは私は知りません。
確率論的独立性や大数の法則と関係します。
Marc Kac, "Statstical Independence in Probability, Analysis and Number Theory," 1959
は参考になります。最近和訳も出ました。

Q中学程度の数学です。解答の解説(連立式)を見ても、その解き方がわかりません。どなたか教えてください。

甲社の入社試験は競争率が20倍であった。試験の成績は、受験者の平均点と合格者の平均点の差が20点で不合格者の平均点は55点であった。合格者の平均点は約何点か。だたし、試験は100点満点である。
の解答と解説が、
合格者をa人とすると不合格者は19a人、全受験者は20a人である。
合格者の平均点をx、全受験者の平均点をyとすると、
(1)x=y+20
(2)xa+55×19a=20ya
正解は、約76点 とあります。
(1)(2)の式が成り立つのは理解できるのですが、その答えが、なぜ76点になるのかがさっぱりわかりません。どなたか、教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

x = y + 20 …式1
a * x+55*19 * a=20 * a * y…式2

a = 0のときは問題自体が成り立たないよね(20倍という数値自体が出ない)。念のため。

というわけで式2の両辺をaで割ります

x + 55 * 19 = 20 * y…式3

さて、式1,式3から

(y + 20) + 55 * 19 = 20 * y

y + 20 + 1045 = 20 * y

両辺からyを引いて

20 + 1045 = 20 * y - y
20 + 1045 = 19 * y

両辺を19で割って

1065 / 19 = y
y = 56.0526316

式1から
x = y + 20 = 76.05263…

Q順列と組合せの区別

順列や組合せの問題でPやCを使って計算をします。
その時、どういう場合に、Pか、Cを使うのか、イマイチ良く分かりません。例えば、

(1)15人の中から図書委員、体育委員、広報委員各1人を選ぶ方法は何通りあるか。ただし、兼任は認めないものとする。

(2)15人の生徒の中から4人の学習係を選ぶ方法は何通りあるか。という問題には

(1)はP、(2)はCを使います。

上記のような問題なら何とか分かりますが、応用になった時、計算する際どっちか、区別する方法を教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

順列や組み合わせは、その順序が大切です。

いま話題のロト6で考えてみましょう。ロト6は42個の数字から任意の6個の数字を選ぶくじです。
ここで、引かれたくじの番号を「引いた順番通りに」ならべてみましょう。
32、27、17、15、3、22
でも、いまのロト6の当選発表は、引いた順番ではなくて単に、小さいものから順に
3、15、17、22、27、32
と発表されます。これが、まさに組み合わせで、順序を考えないものです。
仮に、引かれたくじの順番が、32と27が入れ代わりになっても、当選くじには影響しません。
こういった、順序が結果に影響しない場合は、組み合わせで42C6となります。

でも、引いた順序が結果に影響する場合はどうでしょうか?
ナンバーズや、普通の宝くじがこれにあたります。
引く順番を、千の位、百の位、十の位、一の位と抽選する場合、たとえば
6328
ならば、もし千の位の6と百の位の3の順序が逆ならば、3628となり
全く別の数字になってしまいます。こう言った場合は順列で各位は10P1
となり、4桁ならば10P1の4乗となります。
質問の例では、「兼任を認めない」とあるので、
例えば、太郎君が図書委員、花子さんが体育委員になった場合と、その逆では
結果が異なります。選挙は、兼任を認めていないので、選挙は同時ではなく、
図書、体育、広報と、順序だてて行われます。太郎君が一番目の選挙で選ばれるのは図書委員、
二番目で選ばれたら体育委員、選ばれる順序によって結果はかわります。
つまり順序が影響するので順列の計算になります。

15人の生徒から学習係を4人選ぶ場合、太郎君が一番目に選ばれ、花子さんが二番目に選ばれるのと
その逆、花子さんが一番目、太郎君が2番目に選ばれるのは、同じ結果になります。
つまり、順序が影響しないので、組み合わせの計算になります。

適切な説明がうまくできなくてすみません。

順列や組み合わせは、その順序が大切です。

いま話題のロト6で考えてみましょう。ロト6は42個の数字から任意の6個の数字を選ぶくじです。
ここで、引かれたくじの番号を「引いた順番通りに」ならべてみましょう。
32、27、17、15、3、22
でも、いまのロト6の当選発表は、引いた順番ではなくて単に、小さいものから順に
3、15、17、22、27、32
と発表されます。これが、まさに組み合わせで、順序を考えないものです。
仮に、引かれたくじの順番が、32と27が入れ代わりに...続きを読む

Q□8、9のやり方教えて下さい! 答えは 8、126通り 9、21通りです

□8、9のやり方教えて下さい!
答えは
8、126通り
9、21通りです

Aベストアンサー

8番は普通に
 9C4 


9番
10種類から5種類選ぶ、といいながら、既に、「りんご・なし・かき」の3種類は
決まっているわけなので、これらをよけて考えると、

7種類から2種類選ぶ取り出し方ですね。

7C2


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