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1.ウルツ鉱構造ZnS:原子配置 Zn (0, 0, 0), (1/3, 2/3, 1/2) S: (0,0,8/3), (1/3, 2/3, 7/8)
2.ルチル型構造TiO₂:原子配置Ti (0,0,0), (1/2,1/2,1/2),O(u,u,0), (-u,-u,0), (1/2-u,u+1/2,1/2), (u+1/2,1/2-u,1/2)

の消滅則を示すという結晶の構造因子に関する問題です。1.に関しては、構造因子を求めることはできましたが、場合分けがうまくできず、消滅則が示せません。2.は構造因子をうまく因数分解して積の形に持ち込めず、消滅則も示せません。かなりの難問だと思いますが、どうか知見のある方、ご教授願います。

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A 回答 (4件)

>uは有理数とは限らないためかなり限定されます」とはどういう意味かがまだよく分かりません。



uが有理数だと、uh,ukが整数になるようなh,kにおいても構造因子が"0"になってしまいます。uが無理数だとそのような整数h,kは一つしかありえません。
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この回答へのお礼

やっと意味が分かりました。丁寧に教えていただき、ありがとうございました。

お礼日時:2011/08/10 21:38

#2のものです。



>f(TiO₂)=f(Ti)[1+exp{-πi(h+k+l)}]+f(o)[cos{-2π(hu+ku)}+exp{-πi(h+k+l)}cos{-2π(-hu+ku)}]

この式よく見たらcosで書いていますね。見落としてました。
変形したらこれに近い形になります。(係数に2がつくはずですが)
ここから変形するのならexp{-πi(h+k+l)}=-1を代入して三角関数の和→積の公式を使えばよいでしょう。

この回答への補足

回答から消滅則に関するh,k,lの条件は分かりました。
ただ、「uは有理数とは限らないためかなり限定されます」とはどういう意味かがまだよく分かりません。

補足日時:2011/08/10 17:01
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#1のものです。



>1.F(ZnS)={f(Zn)+f(S)exp(-2πi・3/8l)}[1+exp{-2πi(1/3h+2/3k+1/2l)}]

前の部分については原子散乱因子f(Zn)とf(S)は状況により変化するため計算のしようがありません。(たとえばX線の波長が違ったり、中性子線を使ったりすると原子散乱因子はその都度変わってしまいます)
ですので後ろの{}の中だけを考えればよいでしょう。
1+exp{-2πi(1/3h+2/3k+1/2l)}=0
exp{-2πi(1/3h+2/3k+1/2l)}=-1
となるh,k,lの組(もちろんh,k,lは整数でなければならない)を調べればよい。
-1=exp{(2n+1)πi}
の関係を使えばすぐわかるでしょう。(exp(iθ)が複素平面上でどのような点であるか考えればわかります。)
答えは分数が出ない形にしておいたほうが良いでしょう。


>2.f(TiO₂)=f(Ti)[1+exp{-πi(h+k+l)}]+f(o)[cos{-2π(hu+ku)}+exp{-πi(h+k+l)}cos{-2π(-hu+ku)}]

これもf(Ti)とf(O)は独立な数と考えると、それぞれにかかる式の値がゼロになる必要があります。
f(Ti)に後ろにある式=0から
exp{-πi(h+k+l)}=-1
が得られます。1.の時と同じ方法でh,k,lの関係式が得られます。

次にf(o)の後ろにある式ですが、これはどうも正しくはなさそうですね。
Oの座標が4個ありますので項数は4個ないとおかしい。
丁寧に全て書き下すと良いでしょう。
途中でexp{-πi(h+k+l)}が出てきたら-1としてかまいません。(f(Ti)の係数の条件よりこの式が成り立つのが前提となる)
4個の項の式になりますが、結構簡単な因数分解できる形になります。
因数分解後どちらかの因子がゼロになる、という条件からh,k,lの条件を導きますが、uは有理数とは限らないためかなり限定されます。

この回答への補足

f(o)の式で項数が4個なのは、exp(ix)+exp(-ix)=2cos(x)の関係を用いたからですが、間違ってますか?(すみません、cosの前の2が抜けていました。)
そうすると、この関係式を用いる前の式(この関係式を用いてexpの式にしたもの)も間違ってますか?
もし違うのなら、正しい式は、どのようになりますか?
あと、「uは有理数とは限らないためかなり限定されます」とありますが、これはどういう意味でしょうか?

補足日時:2011/08/10 13:18
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人に質問するなら自分で計算した構造因子を出してください。


もしかするとそちらに計算間違いがあってはまってしまっているのかもしれません。

ヒントだけ。
1.Zn,Sそれぞれから求めた因子=0となるh,k,lを求めればよい。
Znの寄与=0の式なら簡単に解けると思います。
別にSの寄与=0の式を出して、得られた式が消滅則となります。

2.同様にTiからの寄与=0の式とOからの寄与=0で式を立てる。
Tiからの寄与の式についてはわかりやすい。
Oからの寄与=0の式は一見かなりわかりにくい。しかし、Tiからの寄与=0で得られた式を用いるとかなり簡単に形に落ち着きます。

この回答への補足

おっしゃる通り、計算結果を出すべきでしたね。
では、計算結果を示します。
1.
F(ZnS)={f(Zn)+f(S)exp(-2πi・3/8l)}[1+exp{-2πi(1/3h+2/3k+1/2l)}]
2.
f(TiO₂)=f(Ti)[1+exp{-πi(h+k+l)}]+f(o)[cos{-2π(hu+ku)}+exp{-πi(h+k+l)}cos{-2π(-hu+ku)}]

補足日時:2011/08/09 22:02
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Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

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Qダイヤモンドの構造因子

ダイヤモンドの構造因子を求めると
f{1+exp(-πi(h+k))+exp(-πi(k+l))+exp(-πi(l+h))+exp((-πi/2)(h+k+l))+exp((-πi/2)(3h+3k+l))+exp((-πi/2)(3h+k+3l))+exp((-πi/2)(h+3k+3l))}
となったのですが、この構造因子が0になる指数がうまく求められません。どのように考えればよいでしょうか。

Aベストアンサー

面心立方の原子位置は

(0,0,0) (1/2,1/2,0) (1/2,0,1/2) (0, 1/2, 1/2)

これをベクトルでri (i=1-4)と書くことにします.

ダイアモンド格子はこの座標に(1/4,1/4,1/4)を加えた位置に同種原子を置くことで構成されます.そこで(1/4,1/4,1/4)をベクトルdと書くことにすると,追加した原子の位置ベクトルはd+ri (i=1-4).したがって,逆格子ベクトルをGとして構造因子は

S = f Σ[i=1-4] { e^{-2πi G・ri} + e^{-2πi G・(d+ri)}
= f (1 + e^{-2πi G・d} ) (Σ[i=1-4] e^{-2πi G・ri})
= (1 + e^{-2πi・(h+k+l)/4}) S(FCC)

従って消滅則はFCCの消滅則に加えて前の()が0になる条件として

2π(h+k+l)/4 = (2n+1)π 従って h+k+l = 4n+2

が追加になります.

Q格子点数と原子数

結晶について学んでおります。
まず、格子点数と原子数の違いが分かりません。

それで、diamondの単位格子の格子点数、原子数を求めようとしたときに、はたと困りました。
まず、diamondのブラベー格子がFである、そのことから、理解ができませんでした。
diamondは、fccを1/4,1/4,1/4ずらしたものの組み合わせだということは知っています。そこからdiamondのブラベー格子がFであるとなるのでしょうか。

ごめんなさい。。書いてて混乱してきました。。意味がとれない部分もあると思いますが、教えてください。

Aベストアンサー

まず結晶格子とは、空間の三方向に等間隔で並んだ点の集まりのことです。
そしてどんな複雑な結晶構造でも、「結晶格子×単位構造」からできています。
このことを少しずつ説明してみたいと思います。

単純立方格子(primitive cubic; cP)は一番わかりやすいと思いますが、ジャングルジムのように
立方体をたくさん詰め込んだような形をしています。ただし、格子とはあくまでも立方体の頂点の
部分だけの集合なので、フレームの部分は含みません。この頂点一つ一つのことを格子点と言います。
8個の格子点を結んでできる、対面が平行な六面体のことを単位胞または単位格子といいます。
単位胞は繰り返しのユニットとなります。先ほど格子はフレームを含まないと言いましたが、
それはこの結び方(単位胞の決め方)が自由であるということです。星座みたいなものだと思って下さい。
べつに菱餅のような形に結んでもいいんですが、ふつうはもっとわかりやすい(対称性の高い)立方体
などの形になるように結びます。

「単純立方格子の単位胞(立方体)にはいくつの格子点が含まれるか」という問題には
1と答えます。なぜ8ではないかというと、立方体の頂点に全て格子点があると考えると、
繰り返し並べた時に別々の立方体から来た8個の格子点が一カ所にかぶってしまうからです。
ですからそれぞれの立方体について8つの頂点のうちたとえば左下手前のものだけをその立方体に
所属する格子点と考えれば1になるわけです。そこを原点O(0,0,0)にとります。

単純立方格子をとる結晶構造のうちもっともシンプルなのは単純立方構造(simple cubic; sc)です。
これは単位胞の頂点の位置だけに一種類の原子を置いた構造で、ポロニウムのα相がこの構造です。
「格子」と「構造」はどう違うのかと思われるかもしれませんね。実際には同一視されている解説が
ほとんどですが、格子はまだ原子(やイオン)を置く前の、単なる位置の基準点の集合です。
単位胞の中に原子を置いて初めて構造になります。これが「結晶格子×単位構造=結晶構造」の意味です。
scの場合は「単純立方構造の単位胞にはいくつの原子が含まれるか」の答も1となります。

他には塩化セシウム型構造が単純立方格子です。これはセシウムイオン(Cs+)を単純立方格子の
原点(0,0,0)に置いたとき、塩化物イオン(Cl-)が立方体の中央(1/2,1/2,1/2)にくる構造です。
Cs+(0,0,0)とCl-(1/2,1/2,1/2)のペアが単位構造であり、それが各単位胞の中にあるということです。
別の見方をすればCs+だけでできた単純立方構造とCl-だけでできた単純立方構造を(1/2,1/2,1/2)だけ
ずらして重ねたと考えることもできます。しかし、あくまでも塩化セシウム構造としての単位胞は
どちらか片方だけですから、単位胞内の格子点数は1のままで原子数は2となります。

やっとダイアモンド構造に近づいてきました。ダイアモンド格子は面心立方格子(cF)をとります。
単純立方格子と比べると立方体の中にあらかじめ
 O(0,0,0)、A(0,1/2,1/2)、B(1/2,0,1/2)、C(1/2,1/2,0)
の4か所に格子点があります。他の点、たとえば(1/2,1/2,1)の格子点はひとつとなりの立方体
に所属するものと考えます。あらかじめ格子点が4つあるというのはどういう事かと言うと、
うまく単位胞を選ぶと立方体の1/4の体積のものが作れて、その中の格子点数は1になります。
このような単位胞は基本単位胞といい、たとえばOA、OB、OCを三辺とする菱形六面体がそのひとつ
です。しかしそれでは形が分かりにくいのでふつうは体積4倍の立方体の単位胞を考える代わりに
格子点数が4になっているのです。

面心立方構造(fcc)は面心立方格子の格子点にだけ原子を置いたもので、単位胞内の
格子点数は4、原子数も4です。一方、ダイヤモンド構造は炭素原子を
O(0,0,0)、O'(1/4,1/4,1/4)
A(0,1/2,1/2)、A'(1/4,3/4,3/4)
B(1/2,0,1/2)、B'(3/4,1/4,3/4)
C(1/2,1/2,0)、C'(3/4,3/4,1/4)
の8カ所に置いた構造です。これは原点に付随する(0,0,0)(1/4,1/4,1/4)の2つの炭素原子を
単位構造として、A、B、Cの3格子点にもコピーしたものと考えることができます。fccを
(1/4,1/4,1/4)だけ平行移動して重ねたものと捉えても構いませんが、ダイヤモンド構造として
の単位胞はあくまでも(0,0,0)を原点とするものだけですから、格子点数4、原子数8となります。

以上長くなってしまいましたがわからなければまたおっしゃって下さい。

まず結晶格子とは、空間の三方向に等間隔で並んだ点の集まりのことです。
そしてどんな複雑な結晶構造でも、「結晶格子×単位構造」からできています。
このことを少しずつ説明してみたいと思います。

単純立方格子(primitive cubic; cP)は一番わかりやすいと思いますが、ジャングルジムのように
立方体をたくさん詰め込んだような形をしています。ただし、格子とはあくまでも立方体の頂点の
部分だけの集合なので、フレームの部分は含みません。この頂点一つ一つのことを格子点と言います。
8個の格子点を...続きを読む

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Q六方晶における格子面を(0001)と4桁で

3次元結晶の場合、格子の面や格子ベクトルは
3つの数字の組(001)などで確か全て表せます。

六方晶でも3つの数字の組で表せるのですが、4つの数字の組で表した方が理解しやすいので、この記法が使われることがあります。

4つの数字と3つの数字の関係はどうなりますか?
4つの数字には別の拘束条件がありそうですが、
いかがでしょうか?

このことについて書いてあるwebとか本をご存知ないですか? ちょっと探したけれど見つからなかったので。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

六方結晶の場合は(0001)というような表し方ですね。いわゆるc軸が4桁目になります。(h,k,l,m)の場合、h + k = -l の関係があります。

参考URLに出典例を書きましたが、"ミラー指数" "0001"で検索すると、関連ページが56件ありました。

参考URL:http://www.f-denshi.com/000okite/300crstl/304cry.html

Q結晶構造因子

塩化ナトリウムの結晶構造因子は
[Fna + Fcl・exp{-Πi(h+k+l)}][1+exp{-Πi(k+l)}+exp{-Πi(h+l)}+exp{-Πi(h+k)}]
になります。
Fna,Fclはそれぞれナトリウムと塩素の原子散乱因子です。
この式のexp{-Πi(h+k+l)は何を意味するのでしょうか?
教えてください。

Aベストアンサー

exp{-πi(h+k+l)は何を意味するのか、ということですが、これは、「式で書かれた通りの対称性を意味している」としか答えようがありません。しかし、強いて、意味を考えるならば、塩化ナトリウムはナトリウムイオンと塩素イオンの2つの面心立方格子が重なった結晶だという見方ができます。それぞれのイオンの面心立方としての対称性は、exp{-πi(k+l)}+exp{-πi(h+l)}+exp{-πi(h+k)}の部分で表現されています。exp{-πi(h+k+l)の部分は体心立方性を表しますが、この部分は「面心立方の重なり具合の対称性」を表しているという風に解釈できるのではないかと思います。

Q最密六方格子ー逆格子

最密六方格子の実格子および逆格子における基本並進ベクトルを記述せよ。また、それぞれの体積、空間充填率、単位胞中の原子数を求めよ。
格子定数:a

この問題を教えてください。
実格子についてはわかったんですが、逆格子についてが分かりません。

Aベストアンサー

3次元の格子ですから、3つの独立な実格子並進ベクトルが必要です。六方の場合はa1=a, a2=a これは方向が120度回転するが、大きさは同じa、a3=c(これは方向がa1とa2の形成する平面に直交で、その大きさは稠密格子条件から幾何学的にaから自動的にきまる。これは自分で解くこと)。このようにして実格子のa1,a2,a3の3つの基本並進ベクトルが決定されます。すると3つの逆格子ベクトルはbi(b1,b2,b3)は
ai・bj=δij  (i,j=1,2,3)
の公式に従って自動的に得られます。
簡単です。よく考えれば難しくありません。注意すべきは逆格子は実格子から一意的に定まるという事です。

Q面心立方と体心立方の逆格子

固体物理の勉強をしています。
体心立方構造の(hkl)面の逆格子点 g*=ha* + kb* + lc*を逆空間で描くと面心立方構造になるらしいのですが、理由がわかりません。
分かる方いましたら、教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

単純な計算だけで分かります。
体心立方格子のユニットベクトルは
a1=(-a/2,a/2,a/2), a2=(a/2,-a/2,a/2), a3=(a/2,a/2,-a/2)
です。aは格子定数です。
逆格子ベクトルは b1=2π(a2x a3)/(a1(a2xa3)) などですから、単純に計算すれば
b1=2π/a(0,1,1) , b2=2π/a(1,0,1), b3=2π/a(1,1,0)
となり、これは面心立方格子のユニットベクトルです。

Q音響モード・光学モード

フォノンの光学モード、音響モードの図の見方がわかりません。わかりやすく説明できる方がいらっしゃったらお願いします。

ここ↓
http://cl.rikkyo.ne.jp/cl/2004/internet/kouki/rigaku/hirayama/041222/12_22.html
のページの下から1/4あたりにある図みたいなのです。

Aベストアンサー

わかりやすい説明かどうかわかりませんが、
おっしゃているのは、フォノンの振動数(またはエネルギー)を縦軸、波数を横軸にとった図のことでしょうか?
こういう図を(フォノンの)分散関係と呼びます。

たぶん高校で波(音波)において、
(波の振動数ν)=(波の速度c)/(波長λ)という関係(以下、式1と呼ぶ)を習ったと思いますが、それを拡張したものです。これを波数kを使って書くと
ω=2πν=ckです。これは分散関係の図で直線で与えられますが、フォノンの分散関係は直線にはなっていません。なぜでしょうか。
 固体の振動を例にとると、式1はλを小さくしていくと問題が発生します。つまり式1がどんなに小さな波長にでも成立するとすると問題が発生します。波長が0.01nmになったらどうなります。原子の間隔は0.1nmのオーダーなので、それよりも狭い領域に波の振動が含まれるとはどういうことでしょう。そういう波はありえないというか意味がないのです。
つまり式1は波長が極端に短いところでは変更を受けるわけです。

音響モードと光学モードとは、分散関係でkを小さくしていった場合、振動数がゼロになるのが音響モードで、有限の値をとるのが光学モードです。

結晶の単位胞に原子が1個しかない結晶では、音響モードしかありません。光学モードが現れるためには、単位胞に2個以上の原子が含まれる必要があります。

それではなぜ「音響」モードと呼ぶのでしょう。
音響モードは実は充分kが小さい領域ではω=ckという線形な関係に漸近します。つまり式1です。式1が表すのは音波だったため、「音響」モードと呼ばれます。

それではなぜ「光学」モードと呼ぶのでしょう。単位胞に原子が2つ含まれる場合はイオン結晶でよく起こり、片方が+、もう片方が-に帯電しています。
それが質問者の示したwebの図にもあるように互い違いに振動するモードが光学モードにあたり、+と-の電荷が互い違いに振動すると電気分極が振動し、光(格子振動の場合は赤外光)と相互作用します。

光学モードをもつ結晶に赤外光を当てると、光学モードの振動数に相当する赤外光が吸収されます。「光」で観測できるから「光学」モードです。

フォノンの光学モードと音響モードの話は、どんな固体物理の教科書にも載っていると思いますので、以上の説明の手がかりに一度じっくり読んでみられたらいかがでしょうか?

わかりやすい説明かどうかわかりませんが、
おっしゃているのは、フォノンの振動数(またはエネルギー)を縦軸、波数を横軸にとった図のことでしょうか?
こういう図を(フォノンの)分散関係と呼びます。

たぶん高校で波(音波)において、
(波の振動数ν)=(波の速度c)/(波長λ)という関係(以下、式1と呼ぶ)を習ったと思いますが、それを拡張したものです。これを波数kを使って書くと
ω=2πν=ckです。これは分散関係の図で直線で与えられますが、フォノンの分散関係は直線にはなっていませ...続きを読む

Q逆格子ベクトルの大きさ

なぜ逆格子ベクトルの大きさが2Π/d(hkl)に等しくなるのかわかりません。証明法を教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

逆格子の前に結晶格子が前提です.これは周期性を保有します.質問でいえばdが周期です.数学的には周期関数f(x)はフーリエ級数展開可能です.従って,
f(x)=ΣC_ne^{2Πinx/d}=ΣC_ne^{2Πix/(d/n)}=ΣC_ne^{iG_n x}
実際は,3次元空間ですからn==>hklとします.
フーリエ係数C_n==>C(hkl),d/n==>d(hkl)
G_n==>G(hkl)=2Π/d(hkl)
とおけば,
f(x)=ΣC(hkl)e^{iG(hkl)x}
となります.即ちまず周期を持つ結晶格子が存在し,数学的にはフーリエ級数展開可能なこと,その位相部分の指数nがhklに置き換わって,かつdと結合して逆格子G(hkl)という概念が導入されたのです.逆格子は数学的な遊びではなく物理学の全分野で使用されます.例えば”ブラッグ反射”は”Ewald球が逆格子点に接触”したときに発生するといいます.
なお上でd/n==>d(hkl)はブラッグの法則を,
2dsinθ=nλ==>2d(hkl)sinθ=λ
と置き換えることと同じ理由です.

逆格子の前に結晶格子が前提です.これは周期性を保有します.質問でいえばdが周期です.数学的には周期関数f(x)はフーリエ級数展開可能です.従って,
f(x)=ΣC_ne^{2Πinx/d}=ΣC_ne^{2Πix/(d/n)}=ΣC_ne^{iG_n x}
実際は,3次元空間ですからn==>hklとします.
フーリエ係数C_n==>C(hkl),d/n==>d(hkl)
G_n==>G(hkl)=2Π/d(hkl)
とおけば,
f(x)=ΣC(hkl)e^{iG(hkl)x}
となります.即ちまず周期を持つ結晶格子が存在し,数学的にはフーリエ級数展開可能なこと,その位相部分の指数nがhklに置き換わって,かつd...続きを読む


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