数学の問題です！！！

３次方程式x^3-(a^2-1)x-a=0において、実数である解はただ１つであるように実数aの範囲を定めよ。ただし、重解は１つと考える。


お願いします！

No.6 回答者： info22_ 回答日時： 2011/08/20 19:00

#5です。

A#5の補足質問について

>なんでD<0の範囲なんでしょうか

x^3-(a^2-1)x-a=(x-a)(x^2+ax+1)=0
なので実数解の１つはx=aです。
x=aのとき
　x^2+ax+1=2a^2+1>0
なのでx=aは
　x^2+ax+1=0
の解にはなりえません。
したがって、元の3次方程式がただ1つの実数解を持つ条件は、
実数解x=aを持つので、x=aを解として持たない2次方程式
　x^2+ax+1=0　…(◆)
の方は実数解を持ってはならないことです。すなわち２つの虚数解を持つことです。
このための条件は、(◆)の2次方程式について
　判別式D=a^2-4=(a-2)(a+2)＜0　←　2つの虚数解を持つための必要十分条件です。
であること。すなわち、-2＜a＜2 …(☆) であれば(◆)の2次方程式を持たず、
元の3次方程式はただ1つの実数解x=aを持ちます。

したがって、D<0の条件を満たすaの範囲(☆)が求めるaの範囲ですね。
お分かりになりましたか？

No.5 回答者： info22_ 回答日時： 2011/08/20 17:00

#4さんの回答で

判別式D=a^2-4
で
D<0の条件を満たすaの範囲が求めるaの範囲ですね。

この回答への補足

なんでD<0の範囲なんでしょうか

補足日時：2011/08/20 17:16

No.4 回答者： mentai-takana#1 回答日時： 2011/08/20 16:48

x^3-(a^2-1)x-a=0

は
(x-a)(x^2+ax+1)=0
と因数分解できます
x=aと
x^2+ax+1=0
の判別式
D=a^2-4=0
a^2=4
から考えればいいと思います

No.3 回答者： noname#138809 回答日時： 2011/08/20 16:18

でも, この３次方程式は三重解を持ちません。

No.2 回答者： noname#138809 回答日時： 2011/08/20 16:10

三重解も重解と呼ぶなら、そうともいえないか。

No.1 回答者： noname#138809 回答日時： 2011/08/20 16:07

ただし、重解は１つと考える, というのは必要ない条件です。