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(a+b+c+d)の4乗を展開してできる多項式の異なる項はいくつありますか?またa(の2乗)bcの係数を求めよ。という問題です。


解答がなくて申し訳ありませんが、考え方を教えて頂けたら嬉しいです!

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A 回答 (2件)

重複組み合わせが分からないということでしょうか?


二項定理を習っているなら、間違いなく重複組み合わせについては習っているハズなんですが。


重複組み合わせの問題は○と/で考えると分かりやすいです。
今回の問題ですと、「a,b,c,dの異なる4種類から、重複して4つ選択する」組み合わせを探すので、

○/○/○/○

といったように、○を4つ、/を3つ使って考えるといいと思います。
上記の例だと、領域が4つに分かれているのが分かります。

左から「aの領域」「bの領域」「cの領域」「dの領域」と名前をつけると、

aの領域:1つ
bの領域:1つ
cの領域:1つ
dの領域:1つ

となり、これは「abcd」という並びを表します。
ほかにも、

/○○/○/○ → b^2cd
○○○○/// → a^4

といった形で表すことができます。
ということは、○と/の並びが何通りあるか調べることで、問題の項の数を調べることができます。

では実際に調べてみると、まず、○と/合わせて7つの要素があるため、これらの並びは

7!

だけ存在することが分かります。ただ3つの/を、/A、/B、/Cとした場合、

○○/A○/B○/C
○○/A○/C○/B
○○/B○/A○/C
・・・

と/の位置関係に関わらず、上記はすべて「a^2bc」を表しています。
つまり「7!」だけでは重複して数えてしまっているため、/の分を考慮し、

7!÷3!

というパターン数が存在することになります。
同様に○の分も考えると、

◎●/A○/B○/C
●◎/A○/B○/C

はどちらも「a^2bc」を表していることがわかります。
ので、○の分も重複して数えてしまっているため、○の分を考慮し、

7!÷3!÷4!

の計算をする必要があります。

よって、「a,b,c,dの異なる4種類から、重複して4つ選択する」組み合わせは

7!/3!4!

となります。
文章で説明するのは難しい・・・。
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この回答へのお礼

二度もありがとうございました(^-^)

領域の説明で完全に理解しました!



わかりやすくありがとうございます!

お礼日時:2011/08/27 09:21

(a+b+c+d)^4を展開すると、各項が必ず4次になることが理解できているという前提で説明します。



>(a+b+c+d)の4乗を展開してできる多項式の異なる項はいくつありますか?

これは重複組み合わせの問題と考えると分かりやすいと思います。
つまり、

「a,b,c,dの異なる4種類から、重複して4つ選択する」

という問題に置き換えると簡単だと思います。

例えば、

「aaaa」と選択すれば「a^4」
「abbc」と選択すれば「ab^2c」

となります。重複組み合わせの問題とすると、

7!/(4!3!) = 35通り

よって答えは、35個の項ができることになります。


>またa(の2乗)bcの係数を求めよ。

これは多項定理の式を用いると楽に解けます。
多項定理の公式は、画像で添付しておきます。

今回の場合、a^2bcですので、

4!/(2!1!1!) = 12

となり、a^2bcの系数は12になります。

もし多項定理をご存じない場合は、2項定理を使っても解くことができます。

A=a+b
B=c+d

よって与式は

(A+B)^4

となり、二項定理を使うことができる式になると思います。


参考になれば幸いです。
「項の個数の出し方」の回答画像1

この回答への補足

後半の問題わかりました!ありがとうございます(^^)


ただ前半の
7!/4!3!の理屈が分からなかったので、お手数ですがもう一度お願いします(;_;)

補足日時:2011/08/25 07:12
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