落下運動

Question

地上７５ｍの位置から小球を自由落下させ、同時にその真下の地面から他の小球を
初速度２５ｍ/ｓで真上に投げ出したところ、２つの小球は空中で衝突した。
衝突した位置の地上からのたかさとして正しいのはどれか。
ただし、重力加速度を９．８ｍ/ｓ^2とする

という問題をグラフで解きたいのです。
　縦は初速度、横は時間ですよね
　落下（グラフは右下がり）と投げ上げ（右上がり）が交差しますよね、
　時間は、２５ｍ^2×　ａ/2＝７５　　　
　　　　　　　　　　　　　　a＝３で3秒としたのですがその先がわかりません。

どなたかご教授ください。
　　よろしくお願いします。

グラフの面積は衝突しあうので７５ｍ^2になるのはわかるのですが

Quarks · Accepted Answer

＃７様に指摘を受けましたので(^^;、指摘に沿って考えたときの回答も、改めて提示してみます。
　
貼付図は、地上から投げ出された物体Ａと、地上からの高さ25mの地点から自由落下してくるＢの、それぞれのv-tグラフです。今回は正確に、速度と時刻との関係のグラフです。上向きを正に取りました。
両者は、同じ加速度　-g=-9.8[m/(s^2)] の下で運動していますから、２直線はどちらも、傾き　-9.8 の、平行なグラフになります。
任意の時刻ｔで、□ＰＱＵＯの面積はＡの地表からの高度、△ＯＵＶの面積はＢの下向きの変位量、即ち落下距離を示しています。ｔ軸より上の面積は、その物体の、出発点から見た上方への変位の総量を、ｔ軸より下の面積は、出発点から見た下方への変位の総量を表しているものと解釈します（これが、ｖ－ｔグラフの面積から変位量を求めるときの基本的な解釈法です）。
　
□ＰＱＵＯの面積＋△ＯＵＶの面積＝面積Ｙ
とすると、両者が同じ高さに達したときは
Ｙ＝75[m]
になっているはずです。
ところで、面積Ｙは図形的に平行四辺形ＰＱＶＯの面積に当たりますから
面積Ｙ＝25・t　（平行四辺形の面積の公式）
となっていることがわかります。何度も触れられていることですが、相対速度25[m/s]で接近してくるように見える、ということを示しているわけです。
ですから両物体が衝突する時刻Ｔは
75＝25・T
を満たすので
T=3.0[s]
です。
このときの、地表からの高さは
75-「Ｂの落下距離」
として求まります。
　75-(1/2)・(9.8・3)・3＝…[m]
（もちろん、Ａの高度そのものですから、Ａの高度を直接計算しても同じです※）
　
ところで、Ａの速度が０になる（Ａが最高点に達する）のは、グラフから
ｔ＝25/9.8=2.55[s]
の時点です。
ということは、衝突が起こるｔ=3[s]の瞬間は、Ａは落下運動に変わった後ということになります。
貼付図で言えば、ｔ＝Ｔのような時点です。
※この場合、Ａの高度は
△ＰＲＯの面積－△ＳＲＺの面積　（上昇した変位量－下降した変位量）
となり、図形的に求めようとすると、ちょっと煩雑ですね。
でも、先に書いたように、Ａ，Ｂそれぞれの変位量の大きさの和は、平行四辺形ＰＳＸＯの面積であることに変わりはありません。

chiha2525 · Answer

あー、私も間違えていたｗ

htms42 · Answer

＃２です。
前は回答を書く画面にいきなり入りました。
質問文だけで画像のない画面です。
画像に気が付きませんでしたので改めて回答を書きます。

横軸が時間のグラフです。
直線が描かれていますから縦軸は速度です。
縦軸が高さであれば放物線になるはずです。

縦軸が速度であるのであれば、「右下がり」とか「右上がり」とかはなんでしょう。「交点」とは何でしょう。
縦軸に速度を取っていながら縦軸が高さであるとした時のイメージで考えていることになります。
間違いの原因はこの点にあります。
衝突したというのは「同じ時間に同じ位置にいた」という事と同じです。
縦軸が高さを表している場合は「交点」があることが「衝突する」ことを表します。

縦軸を速度にして交点を求めていることが誤りです。
衝突が起こることと速さがいくらであるかとは関係のない事です。
「２つの物体の運動を同じ座標で考えていない」ということも間違いの生じた原因になっています。
「上向きを正とする」と決めたのであればそれは両方の物体に共通にするべきです。投げあげた方は上向きが正、落下する物体は下向きが正とするという座標の取り方をして１つのグラフの中に書きこんでいるから混乱するのです。
計算の便法でよく使われるものですがグラフで考えるという時には間違いの原因になります。出発点ではきちんとした図を書かなくてはいけません。

２つの物体の運動を共通の座標で考えます。上向きを正とします。
（時間も共通です。２つの物体の運動が同時に起こったのではない場合の問題もよく見ます。時間を共通に取るということを抜かしてしまうと間違いの生じる原因になります。あなたの場合だと確実に混乱してしまうでしょう。）

（１）自由落下する物体の速度変化を表すグラフは原点から始まる右下がりの直線です。ａとします。
投げ上げた物体の速度変化を表すグラフは初速度２５m/sから始まる右下がりの直線です。ｂとします。どちらの物体も同じ加速度で運動していますから直線ａ，ｂの傾きは等しいです。平行線ですから交点は存在しません。（きちんと図を書いていれば交点で衝突を考えようという発想は出てこなかったはずです。交点がないのですから考えようがありません。その意味では＃４様が交点のある図を書いておられるのは関心しません。質問者様が間違いを犯した原因を完全にぬぐい去ってはいないのです。）

（２）衝突の条件はどうなるでしょう。
　　　「同じ時間で考えた時の２つの物体の移動距離の和が７５ｍになる」ということです。
　時間ｔのところに縦線を引きます。ｔ＝０からｔまでの図形の面積が移動距離です。直線ａの方では三角形が出てきます。直線ｂでは台形が出てきます。この２つの図形の面積の和が７５になります。２つの直線ａ，ｂが平行であるということから三角形と台形を合わせるとぴったり長方形になることが分かります。幅ｔ、高さ２５の長方形です。面積が７５ですから幅ｔは３であることがすぐに出てきます。高さは台形の面積です。ｔが３であることが分かれば出てきます。

（３）縦軸を高さであるとすると高さが等しいというのが衝突の条件ですから
７５－(1/2)ｇｔ^2＝２５ｔ－(1/2)ｇｔ^2
ｔ＝３が出てきます。

曲線の図形よりも直線の図形の方が考えやすいだろうということで縦軸を速度にしたのでしょうが
ｔ^2の項は消えてしまいますので計算不要です。
縦軸に速度をとった時に、2つの直線が平行になったということと同じ内容です。

ついでに
＞グラフの面積は衝突しあうので７５ｍ^2になるのはわかるのですが

グラフの面積と言っているのはあくまでも縦、横を持った図形に対して言っていることです。
「この紙の面積は？」と言っている時の面積ではありません。
ｍ^2というわけのわからない量がどこから出てきたのかがやっとわかりました。「平方メートル」のつもりなのですね。
このグラフは縦軸が速度（単位はｍ／ｓ）、横軸が時間（単位はｓ）です。縦と横をかけ合わせて得られる量は速度×時間＝移動距離（単位は[ｍ／ｓ]×[ｓ]＝[ｍ]）です。この量を面積と言っています。縦と横をかけて得られる量だからです。あくまでも「図形で考えた時の面積に対応する」と言っているだけです。単位は面積の単位ではありません。

この対応関係で混乱するようであれば図形から距離を出すという方法は使わない方がいいでしょう。式だけで済ます方が間違いが少ないです。（でもあなたの事ですから他にもとんでもない誤解をしているところがあるかもしれませんね。

Quarks · Answer

少し気になる点がありましたので、追記します。

質問者さんは、一方では、t=3[s]で衝突することを正しく算出している(25a=75　と書かれているのは、相対速度25m/sで、75mを進むその時間がa。その意味でしょう。)ようですが、他方で、衝突したときが、２本のv-tグラフが交差している(両者の速さが一致する)時点だとしているように見えます。でも後者は、誤りです。そのようなことは保証されてはいません。
　
　「衝突すること」と、「両物体の速度（または速さ）が一致していること」とは、基本的に別の問題です。常に両方のことが成り立っていると考えてはいけません。
　実際、3[s]後の速度は
Ａで　25-9.8・3=-4.4[m/s]　下向き
Ｂで　9.8・3=29.4[m/s]　これも下向き
ですから、一致していません。

別に詳しい計算をするまでもなく、次のような極端な場合を考えたら、速さが一致する保証など無いことがわかると思います。
　たとえば、上昇する小球Ａが猛スピードで出発し、自由落下し始めた物体Ｂの最初の高さが地面に極めて近い場所だった場合を考えてみましょう。距離が短いですから、Ａ,Bの速さは、衝突時でも初めとほとんど同じ速さを保っているでしょう。Ａは猛スピード、Ｂはほとんど０の速さですから、両者がぶつかった時に速さが等しいはずがありません。

chiha2525 · Answer

v-tグラフか、なるほど。

質問者さんの書かれたグラフで、9.8m/sと書かれた右上がりの斜線と横軸および3(t)から縦に伸びる点線の三角形の面積が、３秒間で自由落下する距離になります。

縦の点線の値は、9.8m/s^2 * 3s
横線は 3s
３角形の面積は (1/2) * (9.8 * 3) * (3) = 44.1

７５ｍの高さから落とすので 75 - 44.1 = 30.9

グラフを用いたらこんな感じでしょうか。

もし、２つの球が同様に重力加速度を受けるので、これを無視（＝０）と考えれば、
２つが衝突するのは25m/sの球が75m進んだ時間になるので、75 / 25 = 3

ここから公式
x = (v0)t + (1/2)at^2
から25m/s上向きの球の３秒後の高さhは（重力加速度はマイナス）
h = 25 * 3 + (1/2) * (-9.8) * (3^2)
  = 75 - 44.1
  = 30.9

上から落ちる球から考えるには、最初に75mの高さがあり、初速０なので
h = 75 + ( (v0)t + (1/2)at^2 )
  = 75 + (  0    - 44.1 )

ちゃんと同じ高さになりますね。

Quarks · Answer

打ち上げた小球をＡ，高さ25[m]の地点から落下する小球をＢとします。
それぞれの小球の、v-tグラフ（ただし、vは速さ(速度ではありません)）は貼付図のとおりです。
原点を通って傾きｇのグラフは、Ｂのもの。速さがどんどん大きくなっていきますから、グラフは右上がりになります。
縦軸が25[m/s]のところから始まり、傾き－ｇのグラフは、Ａのもの。初め速さ25[m/s]ですが、どんどん減速していきますので、グラフは右下がりです。

さて、ｖ－ｔグラフの面積は、その物体が出発点から、どのくらい離れているか（変位の大きさ）を意味していることはご存じですね。
たとえば、時刻Ｔの時で考えると
台形ＯＰＱＳの面積はＡの上昇距離，三角形ＯＲＳはＢの落下距離　であることがわかります。
２つの直線の傾きがそれぞれｇと－ｇでしたから
ＱＳ＝25-gT
RS=gT
であることがわかります。
　
台形OPQSの面積は
{(25-gT)+25)・T/2
これは、Aが上昇した距離
三角形ORSの面積は
gT・T/2
これはBが落下した距離
ですね。

これら２つの距離を足した値が、75[m]になったとき、Ａ，Ｂがぶつかった瞬間だということがわかるはずです。
つまり、求める時刻Ｔは
{(25-gT)+25}・T/2＋gT・T/2=75
を満たしていることになります。
これを解きますと、ｇの値にかかわらず
T=3
となることがわかります(＊)。

なお、出発後3[s]では、Ｂの落下距離は
(1/2)・g・3^2=44.1[m]
ですので、地面に達する前だということがわかりますから、衝突は空中で起こったことが確かめられました。
細かいことですが、条件設定によっては、計算上は衝突時刻が割り出せても、それは地面より下の地点だったなどということが起こりうるので、チェックが必要ですね。

(＊)ｇの値にかかわらず、ということは注目に値します。
{(25-gT)+25}・T/2＋gT・T/2=75
ちょっと、意図的に変形してみますと
左辺＝{(25＋25)-gT＋gT}・(T/2)
=25・T
ですので
25・T=75
となっています。これは、75[m]の距離を ，速さ25[m/s]で進むときに要する時間、と解釈できます。これは、単なる偶然ではなく、必然であることは、75[m]とか25[m/s]を任意の数値にしてみても成り立っていることからわかります。
相対速度を見てみますともっとよくわかるのではないでしょうか。
(25-gT)+gT=25[m/s]
２物体が同じ加速度を受けながら、加速度の方向と同じ方向に運動しているとき、速度の変化量は同じなので、両者の「相対速度」は、ずっと一定であるということ意味しています。

noname#146601 · Answer

物理科の院生です．
質問の意味がまったくわかりません．
衝突の問題をv-tグラフで解きたいということでしょうか？

とりあえず，問題点だけを指摘しておきます．

>縦は初速度、横は時間ですよね
v-tグラフなら縦は速度ですね，初速度ではありません．

>落下（グラフは右下がり）と投げ上げ（右上がり）が交差しますよね
交差しません．
v-tグラフにおいて加速度はグラフの傾きとして与えられますが，
今の場合，2つの球の加速度はともに同じなので平行になり，交わることはありません．

v-tグラフで交差するとは同時刻に速度が一致することを表しますが，それは衝突の条件ではないですよ．
衝突の条件をもう少し考えてください．

htms42 · Answer

衝突は確かに3秒後に起こります。
しかしそれを求めた式
＞２５ｍ^2×　ａ/2＝７５　　　
がどういう意味か分かりません。
文字の意味も分かりません。
どういう風にして導かれた式かもわかりません。

式は意味を持っているはずです。何かを表しています。
式の内容は言葉に翻訳できるはずです。
それがわかれば3秒が求まった段階で次に進むことができなくなるというようなことは起こらなくなるはずです。

ａは「時間」だとしているようですね。
普通よく使われる使い方以外の使い方をする時は
文字の意味を書き添える必要があります。
「時間をａとする」という文章です。
「ｍ」は何を表していますか。「ｍ^2」とはなんですか。

ぐ

simotani · Answer

縦は初速度ではなく速度です。
等速直線運動ではありません。双方に加速度gが掛かります。
結論の3sが正しくても、位置は全く異なります。

落下運動

＃７様に指摘を受けましたので(^^;、指摘に沿って考えたときの回答も、改めて提示してみます。

あー、私も間違えていたｗ

＃２です。

少し気になる点がありましたので、追記します。

v-tグラフか、なるほど。

打ち上げた小球をＡ，高さ25[m]の地点から落下する小球をＢとします。

物理科の院生です．

衝突は確かに3秒後に起こります。

縦は初速度ではなく速度です。

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

　少し気になる点がありましたので、追記します。