定理の証明がわからないのですがわかる教えてほしいです。

定理 f:X→Yを連結な図形Xから図形Yへの連続写像とすると、像f(X)は連結である。

よろしくお願いします

A 回答 (2件)

位相数学の初歩ですね。

たぶんどの教科書にも証明は載っていそうですが。

位相空間や連続写像、連結性の定義についてはきちんと理解しておられるでしょうか?
位相空間といっても距離空間よりもっと一般的な、開集合族によって定義される
位相空間のことですが。それについて理解していないと以下の証明を見ても
理解できないと思います。
問題の書き方がずいぶんあいまいなので心配なのですが。

まず注意しておくことは連結性や連続写像についての命題ですから当然
Xは適当な位相が定義された空間、つまり位相空間であることを前提としています。
またYも位相空間でなければ命題は意味を持ちません。
そこで問題をきちんと書き直すと

X、Yは位相空間、Xは連結とする。写像f:X→Yが連続ならば、像f(X)は連結である。

となります。
証明にはこの命題の対偶を示します。

f(X)は連結でないとせよ。するとYにおける2つの開集合A、Bで
f(X) ⊂ A ∪ B かつ A ∩ B ∩ f(X) =φ
であり A ∩ f(X) ≠φ かつ B ∩ f(X) ≠φ
であるようなものが存在する。
AとBのfによる逆像を考えると
f^{-1}(A ∪ B)= f^{-1}(A)∪f^{-1}(B)= f^{-1}(f(X))=X ……(1)
f^{-1}(A ∩ B)= f^{-1}(A)∩f^{-1}(B)= f^{-1}(φ)= φ ……(2)
そしてfは連続写像だからf^{-1}(A)とf^{-1}( B)はそれぞれTの空でない開集合である。
従ってXは連結でない。 ■
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定理の証明であれば,数学の教科書にのっていると思いますが。



ご質問の内容であれば,幾何学ではなくて,写像とか関数の連続性とかが書いてあるあたりでしょうか。

私,数学は専門外ですので,昔の記憶をたどりながら回答しております。間違っているようでしたら,専門家の方,訂正お願い致します。
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[命題]Vをn次元内積空間とする。
線形写像f:V→Vがpositive且つ<f(x),x>≧0(∀x∈V)ならtr(f)≧0
を示しています。

fがpositiveであるの定義は<f(x),y>=<x,f(y)> (for∀x,y∈V)
tr(f)の定義はfの表現行列Aのトレース

Vの基底を{v_1,v_2,…v_n}とすると
x=Σ[i=1..n]c_iv_i
y=Σ[i=1..n]d_iv_i
(c_i,d_i∈C:複素数体 (i=1,2,…,n))
f(v_j)=Σ[i=1..n]a_ijv_i
と書け,((a_ij)=:Aをfの表現行列という)

<f(x),y>=<f(Σ[i=1..n]c_iv_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>
=<Σ[i=1..n]c_if(v_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>(∵fは線形写像)

<x,f(y)>=<Σ[i=1..n]c_iv_i,f(Σ[i=1..n]d_iv_i)>
=<Σ[i=1..n]c_iv_i,Σ[i=1..n]d_if(v_i)>(∵fは線形写像)

で仮定より

<Σ[i=1..n]c_if(v_i),Σ[i=1..n]d_iv_i>
=
<Σ[i=1..n]c_iv_i,Σ[i=1..n]d_if(v_i)>

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と書け,((a_ij)=:Aをfの表現行列という)

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だからトレースも0以上

QV:有限次元内積空間,∀f∈Dual(V),∃1y∈V such that f(x)= (∀x∈V)

宜しくお願い致します。

[問]VとDual(V)をそれぞれ有限次元内積空間とVの双対空間とする。
∀f∈Dual(V),∃1y∈V such that f(x)=<x,y> (∀x∈V)

という問題が証明できません。

Dual(V)はvHom(V,C):={f;f:V→C,fはベクトル空間準同型}(Cは複素数体を表す)
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fがベクトル空間準同型とは∀v,w∈V,∀c∈C,f(v+w)=f(v)+f(w)∧f(cv)=cf(v)と満たす線形写像の事です。

内積の定義は複素線形空間Vの任意の要素x,yに対して複素数<x,y>が定まり,次の4条
件を満たす時<x,y>をxとyの内積といい,内積が定義されている空間Vを内積空間と言
う。
(i) <x,x>≧0; <x,x>=0⇔x=0
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(iii) <x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(iv) <αx,y>=α<x,y>

です。
この命題を満たすyとして何を採れば宜しいのでしょうか?

Aベストアンサー

んーー,わざわざ「射影」といったのに
証明のその部分を読み飛ばしてるとは・・・

>∃v∈V\Ker(f)でC∋)f(v)≠0(∵Kernelの定義)で∀x∈Vに対し
>f(x-f(x)/f(v)v)=f(x)-f(x)/f(v)f(v)(∵fは線形写像)=f(x)-f(x)=0…(1)

これ自体は正しいのですが,このvだと余計な成分があって駄目です。
射影もしくは「分解」とかの議論がありませんでしたか?
(何を参照したのか分かりませんがなければその証明はだめです)

vそのものではなく,
Kef(f)+U=Vのように直交分解して
v=w+u,wはKer(f)の元,uは0ではなく,Ker(f)とuは直交
となるようにします.
#これは有限次元だから可能
#けどヒルベルト空間ならこれに類することができる
このとき,
∀x∈Vに対し
f(x-f(x)/f(u)u)=f(x)-f(x)/f(u)f(u)=0
したがって,x-f(x)/f(u)uはKer(f)の元
だから,
0=<x-f(x)/f(u)u,u> (uはKer(f)の直交補空間Uの元)
=<x,u> - f(x)/f(u) <u,u>
よって
<x,u>f(u)=f(x)<u,u>
f(x)<u,u>=<x,u>f(u)
f(x) = (f(u)/<u,u>) <x,u>
= <x, (f(u)/<u,u>)~ u>
ですか.複素でやってるので
内積の後ろに方に
スカラーを入れると共役になるのに注意.

#内積があれば,双対・もとのベクトル空間・双対の双対が
#簡単になるというありがたいお話ですな

んーー,わざわざ「射影」といったのに
証明のその部分を読み飛ばしてるとは・・・

>∃v∈V\Ker(f)でC∋)f(v)≠0(∵Kernelの定義)で∀x∈Vに対し
>f(x-f(x)/f(v)v)=f(x)-f(x)/f(v)f(v)(∵fは線形写像)=f(x)-f(x)=0…(1)

これ自体は正しいのですが,このvだと余計な成分があって駄目です。
射影もしくは「分解」とかの議論がありませんでしたか?
(何を参照したのか分かりませんがなければその証明はだめです)

vそのものではなく,
Kef(f)+U=Vのように直交分解して
v=w+u,wはKer(f)の元,uは0ではなく...続きを読む

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f(x)=f(1/2+b)
よってf(1/2-b)=f(1/2+b)
となり、1/2を軸にしてf(1/2-b)とf(1/2+b)が等しくなっている。
よってf(1-x)=f(x)の時、任意のxにおけるf(1-x)とf(x)はx=1/2を軸として対象である。


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