数学Aの問題の解説をわかりやすくお願いします。

二項定理を用いて、次のことを示せ
X＞０のとき(1+x)^n > 1+nx、ただしｎは2以下の自然数

No.1 ベストアンサー 回答者： R_Earl 回答日時： 2011/09/25 18:59

> X＞０のとき(1+x)^n > 1+nx、ただしｎは2以下の自然数

「2以下の自然数」は「2以上の自然数」の誤りでしょうか
(2以下の自然数だと不等式が成り立ちません)？
だとしたら左辺を二項定理で展開するだけだと思います。

左辺を二項定理で展開すると
1 + nx + {n(n-1)/2}x^2 + …
となります。
{n(n-1)/2}x^2は絶対に0より大きい数になりますよね(xが正の数なので)。
同様にそれより後ろにある項も絶対に0より大きい数になりますよね。
つまり左辺が
1 + nx + (0より大きい数)
の形になるので、(1+x)^n > 1 + nxが成り立つという事になります。

大雑把に書いてみましたが、証明文を書くにあたっては、
{n(n-1)/2}x^2 + …の部分が0より大きい事をちゃんと示す必要があるかもしれません。