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プランクの公式

E(λ)=a/λ^5/(exp(b/λT)-1)
a=2πc^2h
b=ch/k

・・からウィーンの変位則を導きたいのですが
b/λT=x'とおいた時

exp(-x')+x'/5-1=0

となるところはわかっています。
この式からx'を求められれば後は何とかなる
用ですが、この計算は少し工夫が必要だそうです。
ちなみにウィーンの変位則は

λT=2.8978*10^(-3)  

となるようです。
僕はもう、数学なんかずいぶん解いてないので
マクローリン展開とか言われても
聞いたことあるなぁ・・・なんだっけ?
・・・という感じになってしまっています。
物理に詳しい方、数学の得意な方
なるべく簡単に教えてください。
よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

x' は使いにくいので,x と書かせてもらいます.



(1)  exp(-x)+x/5-1=0

x=0 が解であることは一目でわかりますが,
これは求める解ではありません.
少し調べてみると,プランク公式の極小値が x=0 に対応していることがわかります.
ウイーンの変位則はプランク公式の極大値を求めるものですね.

brogie さんにには何か誤解があるようです.
brogie さんは x が1に比べて無視できるほど小さいと書かれていますが,
x は(1)を満たすものとしてこれから求めるものですから,
1に比べて無視できるかどうかはまだわかりません.
実際,1より大きいことはあとでわかります.

グラフを描いてみると,解の様子がわかります.
(2)  f(x)=exp(-x)
(3)  g(x)=-x/5+1
とおいて,曲線 y=f(x) と 直線 y=g(x) の交点のx座標が求めるものです.
あとは,グラフを自分で描いてみてください.
交点が x=0 と x=5 付近にあるのがわかるはずです.
大体の値がわかれば,電卓で try and error でも簡単にできるでしょう.
プログラム電卓ならもっと簡単.
力でやるなら,Cなり Fortran なりで,x を動かして f(x)-g(x)
の値を出力させて探してもよい.
もっとスマートに求めるのなら数値計算のニュートン法などがあります.

ちょっとやってみたところ,答は x=4.96511 です.
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この回答へのお礼

レスが遅くなって申し訳ありません
すごく良くわかりました
siegmundさんの計算値をもとに
エクセルでf(x)-g(x) を計算して
大まかに値を4.965と得ました
(あまり厳密には求めなくて良いようなので・・・。)
この解き方は目からうろこです。
一生懸命計算しようとしていたのがバカらしくなりました。
本当にありがとうございます。
      多謝

お礼日時:2001/05/06 15:37

exp(-x')+x'/5-1=0 .....1式


このexp(-x')をテイラー展開をします。
exp(-x')=1+(-x')/1!+(-x')^2/2!+...
x'=b/λT=(ch/k)/ λT=ch/kλT
これを計算するとx'は1に比べ無視できるほど小さいので
x'<<1なので、テイラー展開の...以下を無視します。
これを1式に代入します。
後は物理定数を代入して計算して下さい。
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