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初めて投稿させていただきます。言葉足らずな点も多々あるかと思いますがよろしくお願いいたします。質問したいのは以下の問題です。
通常の位相を持った数直線Rから原点0を除いた位相空間をXとする。X上の2点に対しして。関係~をx‘~x⇔n∈Zが存在してx‘=2^nx (←2のn乗とxの積です)として定義する。商集合X/~をYとおく。次の各問に答えよ。
(1)π;X→Yを写像とするとき、Y上の商位相の定義を述べ、πが連続であることを示せ。
(2)Yは第2可算公理を満たすことを示せ。
(3)商空間Yはハウスドルフ空間になることを示せ
まず(1)はできました。次に(2)なのですがこれはちょっとやり方がわからず困っています。可分な位相空間であることを示して第2可算公理を満たすという感じにすれば良いのでしょうか?できれば模範的な解答を示していただければ嬉しいです。それと最後に(3)なのですが、まったくわからず・・・という状態です。これも解答していただければ助かります。解答を他人任せにしていることに申し訳なさを感じているのですが、どうしてもこの問題だけは理解したいと思います。ですからどうかお願いいたします。

A 回答 (3件)

1番です。



> すいません。まだわかりません。。解答を示していただくことはできないでしょうか?

ハウスドルフ空間が何か、商位相が何かがわかってないみたいにみえます。

1番で、

> (2^(n-1))y<x≦(2^n)y

という不等式を書きました。

Xで

(1)中心x半径aの開円盤
(2)中心(2^(n-1))y、半径bの開円盤
(3)中心(2^n)y、半径2bの開円盤

を作って、

B(x,a)、B((2^(n-1))y,b)、B((2^n)y,2b)のうちどの二つも共有点を持たないように正数aとbを取れるかどうか考えてください。

商位相を理解していればあとはわかるはず。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2011/10/06 16:41

この手の問題は


No.1さんのように定義に従って確実に示す方法を理解しないといけません.
たぶん,第二可算公理というものを理解してないのでしょう.
定義だけなら第二可算公理と可分は無関係です.

もう一つの方針は
問題の商空間Yがどのような空間なのかを考えることです.
Yと同相な空間で簡単なものがあればほとんど自明です.
そして,Yはある有名な集合と同相になるはずで
そうなると(2)(3)は自明です.

直線x+ky-k=0とy=-2^n+1(nは整数)の交点を考えるとYの点が定まるんです.
これがYとある集合との同相写像を構成するはずなので
(2)(3)はすぐでてくるはず

この回答への補足

すいません。まだわかりません。。解答を示していただくことはできないでしょうか?

補足日時:2011/10/04 23:09
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
確かに、定義を理解していないとできませんよね・・・もう少し自分で考えてみます。

お礼日時:2011/10/01 11:03

> π;X→Yを写像とするとき



これは「商写像」の書き間違いですよね?

(2)
Yの開集合をπで写して基底の和で表し、それをπによる逆像を考えます。

(3)
Yの異なる2点[x],[y]∈Yを任意に与えます。

xとyが異符号ならば自明なので、同符号のときだけ考えます。さらに、x,y>0としても一般性を失いません。

このとき、

(2^(n-1))y<x≦(2^n)y

となる整数nが存在することを利用します。

そのあとどういう近傍を取ればいいか考えてみてください。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
>これは「商写像」の書き間違いですよね?
すいません。。脱字があったようです。
ご指南ありがとうございます。ちょっと考えてみます。

お礼日時:2011/10/01 11:00

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Q商空間の概念が全く分かりません

http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/quotient_topology.html

商空間の定義はここに書かれてある通りなのですが、
これを呼んでもどういうものなのか全くよく分かりません。
そもそも商という名前がついているのに、どこに商(割り算)のような因子が含まれているのでしょうか?
どなたか具体例を挙げて教えて下さい。

Aベストアンサー

>写像f:X->Yが空間Xより空間Yへ全射な連続写像とする。ただしYは商位相をもっている。Zを空間としたとき写像g:Y->Zが連続である必要十分条件は、
合成写像gf:X->Zが連続写像となることである。

・・・これは定義じゃないですな.
そもそも「商空間」ですらない.
商空間にいれる「自然な位相」のことを
「商位相」というんだけども
商空間と商位相はまったく別物.
もっと初歩的な位相空間・代数・位相幾何の本を読みましょう.
その本は間違いなくあなたにはレベルが高すぎるのでしょう.

集合X上の関係Rで以下の条件を満たすものを同値関係という
Xの任意の元x,y,zにたいして
(1) xRx
(2) xRy <=> yRx
(3) xRy かつ yRz ならば xRz
この同値関係Rを用いて,Xの任意の元xに対して
集合{y∈X | yRx}を定める.これをxのRによる同値類といい
[x]と表す.
このとき,同値類の集合{[x] | x∈X}を
X/R と表し,XのRによる商集合(商空間)という.
#これはまさに同値関係でつながるということで
#空間を割り算しているようなもの

このとき,自然な写像
p_R: X -> X/R を p(x)=[x] によって定める.
これを商空間への「射影」と呼ぶ.

Xが位相空間であるとき,射影p_Rが連続となる
最小の位相をX/Rに導入する.
すなわち,Xの任意の開集合Oに対して,
X/Rの部分集合 p_R^{-1}(O) が開集合であるとして
X/Rに位相を導入する.
この位相のことを,X/Rの商位相という.

これを拡大解釈して,
一般に全射 f:X -> Y に対して
f^{-1}(O) (OはYの開集合)がXの位相を定めるときに
Xには商位相が入っているという.
このとき,写像g;Y -> Zを考える.
Zの開集合Oに対して,gf:X->Zに対して
(gf)^{-1}(O)= f^{-1}(g^{-1}(O))
であることに注意する.
gが連続であるならば,fが連続なので合成gfは連続
gfが連続あるならば,
(gf)^{-1}(O)=f^{-1}(g^{-1}(O))
は開集合.fは連続で,Xは商位相をもつので
Yの開集合Vが存在して,V=g^{-1}(O)とできる
すなわし,gは連続である.

以上かな.
大抵の基本的な本にはこの程度のことは
必ず出てるから,大学生にしては調べ方や
本の探し方がかなり甘いといわれても仕方がないでしょう.

>写像f:X->Yが空間Xより空間Yへ全射な連続写像とする。ただしYは商位相をもっている。Zを空間としたとき写像g:Y->Zが連続である必要十分条件は、
合成写像gf:X->Zが連続写像となることである。

・・・これは定義じゃないですな.
そもそも「商空間」ですらない.
商空間にいれる「自然な位相」のことを
「商位相」というんだけども
商空間と商位相はまったく別物.
もっと初歩的な位相空間・代数・位相幾何の本を読みましょう.
その本は間違いなくあなたにはレベルが高すぎるのでしょう.

集合X上...続きを読む

Q同相であることの証明

原点中心半径1の球の球面とユークリッド平面に一点を加えた集合は同相であることを示します。
いわゆる、立体射影というやつです。

まず、球面の北極点(0,0,1)を除いた集合から、ユークリッド全平面への写像が、
立体射影の方法で与えられていて、これが同相であることは認めていいとします。


次に、ユークリッド平面上にない、無限遠点∞をユークリッド平面に加えた集合を考え、
球面からその集合への写像Fを、fを拡張し、F((0,0,1))=∞ という風に設定します。
このとき、Fが(0,0,1)で連続であることを示したいのですが、やり方がわかりません。


どなたか詳しく教えていただけないでしょうか。

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補足質問の要点は、
開部分空間の開集合は、母空間の開集合、
閉部分空間の閉集合は、母空間の閉集合だけれども、
f^-1(K) は、開部分空間 S^2\{p} の閉集合だから、
S^2 の閉集合だとは限らないじゃないか
…ということですか?

K は、単なる閉集合ではなく、コンパクトです。
K を覆うひとつの有限開集合の閉包を C と置けば、
f^-1(K) は、閉部分空間 f^-1(C) の閉集合なので、
S^2 の閉集合になります。

これを使って、補足文中の証明より、
F は p でも連続と言えますね。

Q同相でないことを示す問です。

「実数1次元ユークリッド位相空間と実数2次元ユークリッド位相空間」が同相でないことを示せ。という問について教えてください。
方針として、二つの濃度を求めて、それらがイコールにならないことをいえばいいと考えました。実数1次元ユークリッド位相空間の濃度は、?ですが、実数2次元ユークリッド位相空間の濃度は、どのようにしてもとめるのでしょうか?
 よろしくお願いします。

Aベストアンサー

残念ながら、実数体をRと書くことにして、RとR^2は等濃(濃度は等しい)です。つまり、R^2からRへの全単射gは存在するのですが(証明は適当な資料を参照してください)、ここでR^2からRへの全単射gは絶対に『連続でない』事を言えばよいです。

方針は、例えばRの閉区間I = [0,1]からR^2への写像hをh(t) = (cos(2πt), sin(2πt))で定めると(原点を中心にクルッと一周するような写像)、hは連続で、h(x) = h(y)かつx<yとなるのは明らかにx=0, y=1の時だけです。そこで、R^2からRへの連続な全単射gがあるものとし、g○h=jを考えると、jはI=[0,1]からRへの連続な写像で、またj(x) = j(y)かつx<yとなるのはx=0, y=1の時だけです。

ところで最大値の定理からj(I)は最大値及び最小値を持ちます。このうち少なくとも一方はj(0)とは違うのでその値をmとすると、j(0)とmの間の数を考えた時、中間値の定理からなんだか変な事になっている事を示せばよいです。


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